Ordre fini

[Dinozzo13]

Ah bon ! pourquoi ?

[Nightmare]

Ah bon ! pourquoi ?

Quelle est la définition de l'ordre?

[Dinozzo13]

cest le plus petit entier , oui je comprends l'erreur de ma conclusion hâtive.

Dans ce cas, que faire ?

[Nightmare]

Eh bien il reste plus qu'à montrer que c'est le plus petit. Pour ça suppose qu'il existe k < p tel que (yx)^k=e et essaye d'aboutir à une contradiction.

[Dinozzo13]

Ben si on applique le même raisonnement en supposant kp, ce qui est impossible, donc k=p ?

[Nightmare]

Peux-tu détailler?

[Dinozzo13]

Je vais essayer :
Supposons qu'il existe tel que .
Dans ce cas .

[Nightmare]

Ca me va! :happy3:

[Dinozzo13]

Merci beaucoup pour ton aide précieuse.

Dis-moi, j'aurai une autre petite question donc, pour éviter d'ouvrir une nouvelle discussion, je la pose ici.

On munit l'ensemble G={a,b,c,d} d'une loi de composition dont la table est :

* a b c d
a c a c a
b a d c b
c c c c c
d a b c d

Une question me demande si cette loi est associative. Mais je n'arrive pas à savoir si oui ou non, avec la table.

[Dinozzo13]

Merci beaucoup pour ton aide précieuse.

Dis-moi, j'aurai une autre petite question donc, pour éviter d'ouvrir une nouvelle discussion, je la pose ici.

On munit l'ensemble G={a,b,c,d} d'une loi de composition dont la table est :

* a b c d
a c a c a
b a d c b
c c c c c
d a b c d

Une question me demande si cette loi est associative. Mais je n'arrive pas à savoir si oui ou non, avec la table.

[Nightmare]

Eh bien, quelle est la définition de l'associativité?

[Dinozzo13]

pour tout x,y,z de G, x*(y*z)=(x*y)*z

[Dinozzo13]

pour tout x,y,z de G, x*(y*z)=(x*y)*z

[Nightmare]

Oui, et donc cette définition est-elle vérifiée quels que soient x y et z appartenant à {a,b,c,d}?

[Dinozzo13]

Ca à l'air oui, mais il y a trop de cas à vérifier.

[Nightmare]

Ta loi est commutative, ça réduit déjà pas mal de cas à tester.

[Skullkid]

Tu peux aussi remarquer que certains éléments sont particuliers, c et d surtout. Au final tu peux t'en sortir en ne calculant que 4 produits de 3 éléments, sauf erreur. La question subsidiaire c'est : est-ce que cette loi fait de G un groupe ?

[Dinozzo13]

Tu peux aussi remarquer que certains éléments sont particuliers, c et d surtout. Au final tu peux t'en sortir en ne calculant que 4 produits de 3 éléments, sauf erreur. La question subsidiaire c'est : est-ce que cette loi fait de G un groupe ?

4 produits de trois éléments ? a quoi le vois-tu ?

Non, G n'est pas un groupe.

[Skullkid]

Vérifier l'associativité ça consiste à calculer tous les produits possibles de 3 éléments et les comparer entre eux. On peut remarquer que c est absorbant, donc dès que c apparaît dans un produit, le résultat fera toujours c, indépendamment de la position des parenthèses. Dans le même genre, d est neutre, donc il est "superflu" dans les calculs. Au final, les seuls produits qui ont une chance de violer l'associativité sont ceux qui impliquent a et b, c'est-à-dire : (ab)b, a(bb), (aa)b et a(ab).