Ordre des quantificateurs

[jeje56]

Bonjour,

Je ne suis pas sûr d'une démo... je montre que : f=o(g) et g=O(h) => f=o(h)

En utilisant les DEF, je dis :




Donc : où W est l'intersection de V et W
Et en posant e'=Me :

d'où le résultat...

Merci bcp !

[Finrod]

Si les o sont pris au point a (fini ou infni), il y a plus simple.

f=o(g) equivaut à

g=O(h) équivaut à

donc

[jeje56]

Mon but est d'utiliser les définitions...

g=O(h) n'est pas équivalent à g/h tends vers 1 en a si ?...

Si quelqu'un peut confirmer ou non ma démo ?...

Merci !

[barbu23]

ton raisonnement avec les definitions c'est bien :happy3:
:happy3:

[Finrod]

Non pardon, ça c'est la déf d'être équivalent.

g=O(h) est équivalent à bornée.

Et ça donne une preuve plus courte.

Mais de toute façon, c'est bien de s'entrainer à faire des preuves avec les "espilons".

[Ben314]

Salut,
Bon, sur le fond, on va dire que c'est "à peu prés correct" (normal, vu que le résultat est juste) mais sur la forme, c'est pas super terrible...

Je pense quand même que la preuve est plus simple sans passer aux quantificateurs mais en utilisant le fait que f/g tend vers 0 et que g/h est bornée (mais effectivement ne tend pas forcément vers 1) : ça tient une ligne.

Passons à ta "prose" :

f=o(g) et g=O(h) => f=o(h)
O.K. mais faudrait préciser V vois de ???
O.K. mais faudrait préciser W vois de ???


Donc : B
Là, ça commence à déconner grave : il y a un Z sans "il existe Z" ou "quelque soit Z" devant, donc on comprend que dalle : il dépend de quoi le Z ? de epsilon ? de rien ? Normalement, c'est la place qu'il occupe dans la phrase logique qui permet de savoir de quoi il dépend.
Tient, par exemple, comme tu as écrit le "il existe M" APRES le "quelque soit epsilon", cela veut dire que ton M peut dépendre de epsilon, c'est à dire que, par exemple, on pourrait avoir M=1/epsilon, cas dans lequel tu risque d'être fort embété par la suite pour explique que Mxepsilon peut être rendu aussi petit qu'on veut...
où W est l'intersection de V et W je pense que c'est Z à la place de W, mais sa change pas grand chose au fait qu'on sait toujours pas trop de quoi il dépend...
Et en posant e'=Me : Là, c'est un peu (beaucoup) n'importe quoi : tu as un "pour tout epsilon" et un "il existe M", qui devient un "pour tout epsilon prime" pourquoi c'est pas devenu un "il existe epsilon prime" ?

d'où le résultat...

Merci bcp !

Bon, en résumé, pour le moment, essaye de pas écrire en "pur quantificateurs", mais en faisant des phrases, tu comprendra sans doute mieux ce que l'on a le droit de déduire...

[jeje56]

Salut Ben,

V est un voisinage de a...

Peux-tu me donner au moins une aide pour une bonne rédaction ?...
Pour moi, Z est déternminé parce que c'est l'intersection de V et W...
Merci !

[Ben314]

Bon, on suppose que f=o(g) et g=O(h) au voisinage de (éventuellement infini).
Cela signifie que :
a) à noter : la formule dit bien que le voisinage dépend du choix de
b) à noter : ici, et de dépendent de... rien.

On veut montrer que f=o(h), c'est à dire que :
.
Pour ce faire, on commence par dire qu'en vertu du b), il existe et (ne dépendant d'absolument... rien) tels que :
On choisi ensuite un quelconque et on utilise la formule a) avec (la formule dit "pour tout ..." donc elle est en particulier vrai pour ce là) pour dire qu'il existe un (dépendant de donc de ) tel que :
On pose alors (qui dépend de donc de ) : comme c'est l'intersection de deux voisinages de , c'est encore un voisinage de .
De plus, pour tout , les formules et sont toutes les deux vrais (vu que est à la fois dans et dans ) donc on a

Conclusion :
On a bien montré que, pour tout , il existait un voisinage de (dépendant de ) tel que, pour tout , on ait

[Doraki]

Pour moi, Z est déternminé parce que c'est l'intersection de V et W...
Merci !

Nan pour l'instant le contexte de l'exercice, c'est que tu connais 3 fonctions, f, g, h, et tu as les hypothèses f = o(g) et g = O(h).
Une "phrase mathématique" doit pouvoir se lire et faire du sens avec ce contexte là et rien d'autre. En particulier, tant que tu ne le dis pas explicitement, y'a pas de M, de V, de W, ou de Z qui existe.
En plus, même avec Z quantifié comme il faut, ta dernière phrase n'implique pas que f = o(h), vu que t'as pas mis epsilon et M dans le bon ordre.

Aussi, en maths, une preuve ce n'est pas une succession de phrases mathématiques comme tu as l'air de vouloir faire.

Tu peux dire "Je vais maintenant donner une preuve de f = o(h) ...", écrire la traduction mathématique de "f = o(h)", et ensuite montrer la preuve.

C'est un peu plus lisible que de dire "blablabla donc f = o(h)", ou bien "regardez en fait avec ce que j'ai dit plus haut, ça donne une preuve de f = o(h)" parceque là il faut alors tout relire pour vérifier que t'as pas fait n'importe quoi. (en particulier vérifier les dépendances des epsilons, des M, des Z etc)

[jeje56]

Merci Ben, j'ai bien compris tes remarques concernant ma prose lol...