Operateurs unitaires

par **ludo56** » 09 Fév 2009, 18:50

Bonjour,

Soit H un Hilbert, U un operateur de H dans H lineaire borné unitaire c'est a dire
||U(x)|| = ||x|| pour tout x de H.

Je voudrais montrer que cette application implique U bijective.
J'ai montrer l'injectivité mais pour la surjectivité je ne vois pas ..
Merci.

par **Nightmare** » 09 Fév 2009, 18:52

Bonjour,

plus rapidement, montre que son inverse est exactement son adjoint.

par **ludo56** » 09 Fév 2009, 19:02

Oui j'ai deja fait de cette maniere mais dans le contexte de l'exercice c'est cette implication qui est demandé :hein:

par **ThSQ** » 09 Fév 2009, 19:20

Nightmare a écrit:Bonjour,

plus rapidement, montre que son inverse est exactement son adjoint.

J'aimerais voir comment tu fais rapidement car pour moi l'hypothèse Hilbert est importante. :doh:

par **Nightmare** » 09 Fév 2009, 19:24

Tu as raison, je pensais que l'on était dans un Hermitien.

par **ThSQ** » 09 Fév 2009, 19:27

Ok, j'm'disais bien ;)

par **ThSQ** » 09 Fév 2009, 21:16

A la réflexion (le ventre plein ....) je me demande si ce résultat est vrai même dans un Hilbert.

Dans l²(R) : U((u1,u2, ..., un)) = (0,u1,u2,...)) est bien une isométrie, elle a un inverse à gauche qui n'est pas son inverse à droite.

par **kazeriahm** » 09 Fév 2009, 21:29

Je pense à vue de nez qu'une méthode qui marche est de montrer que Im U est dense puis fermé dans H, ce qui montre(rait) que Im U = H.

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