Noyau et application linéaire injective

[nico2b]

Bonjour, je n'arrive pas à prouver la propriété suivante :

Soit f : V -> U une application linéaire

* f est injective Ker f = {0}

Comme f est injective, on a que pour tous x et x' dnas V, f(x) = f(x') implique que x = x' ...
Ker f : f(x) = f(x') = 0 mais je n'arrive nul part...

Merci pour votre aide

[aviateurpilot]

[Monsieur23]

Pour l'implication directe :

Supposons f injective.
Soit x Ker f
Alors f(x) = 0 = f(0)
f est injective, donc ...

Pour l'implication réciproque :

Supposons Ker f = {0}
Soient x,y V, tels que f(x) = f(y)
f(x-y) = 0
...

C'est bon ?
Mr.23

[nico2b]

Oui j'y suis arrivé merci à vous pour votre aide

donc si je comrpends une application linéaire s'annule toujours pour 0?

f(x) = 0 = f(0)

[Monsieur23]

Oui

Si f est linéaire, alors
par exemple
Par linéarité = 0 ( on considère 1 comme un vecteur, et 0 comme un scalaire )

Mr.23

[nico2b]

ok merci beaucoup pour cette explication :we: