Application injective et noyau

[gpm]

Bonjour,
un théorème affirme que si une application linéaire f est injective, alors kerf ={0}.
Mais je demandais quelle était la dimension de de Kerf du coup ? Dim=1 ou dim=0 ?
merci d'avance :lol3:

[Monsieur23]

Aloha,

L'espace nul est de dimension 0 (il est engendré par 0 vecteurs).

[gpm]

Aloha,

L'espace nul est de dimension 0 (il est engendré par 0 vecteurs).

Ha d'accord ! Merci beaucoup, je pensais que le vecteur nul avait une incidence sur la dimension !

[zygomatique]

salut

l'espace nul est engendré par un vecteur :: le vecteur nul !!!

car pour tout réel : k * 0 = 0

(ne pas oublier que c'est un espace vectoriel) ...

:lol3:

[Ben314]

l'espace nul est engendré par un vecteur :: le vecteur nul !!!
car pour tout réel : k * 0 = 0

Ce n'est évidement pas faux, mais ça incite à écrire des tas de conneries, en particulier (et justement...) à écrire que {0} est de dimension 1 vu qu'il est engendré par un vecteur (nul)

Ce n'est évidement pas le cas vu que la famille constituée du seul vecteur nul n'est pas libre (a.0=0 n'implique pas a=0) donc le vecteur nul n'est pas une base du s.e.v. {0}.

En fait, la (seule) base du s.e.v. {0}, c'est effectivement l'ensemble vide et ça explique que dim({0})=card(ensemble_vide)=0.
Après, effectivement, la question, c'est comment on fait pour "fabriquer" le vecteur nul à partir d'une base... vide...
La réponse est très simple : dans absolument n'importe quel ensemble muni d'une addition formant une loi de groupe, la somme de "rien", ça fait l'élément neutre de l'addition : c'est une convention indispensable et très naturelle vu qu'on veut que, pour deux ensembles d'indices et disjoints on ait et que, si tu prend alors .

[zygomatique]

je suis bien d'accord avec toi .... c'est pourquoi je n'ai pas parlé de base mais "est engendré par" ...

car vec(x, y) = vec(x, y, 0) ..... = vec(x, y, x + y, 0) si on veut aussi

....

[gpm]

Ce n'est évidement pas faux, mais ça incite à écrire des tas de conneries, en particulier (et justement...) à écrire que {0} est de dimension 1 vu qu'il est engendré par un vecteur (nul)

Ce n'est évidement pas le cas vu que la famille constituée du seul vecteur nul n'est pas libre (a.0=0 n'implique pas a=0) donc le vecteur nul n'est pas une base du s.e.v. {0}.

En fait, la (seule) base du s.e.v. {0}, c'est effectivement l'ensemble vide et ça explique que dim({0})=card(ensemble_vide)=0.
Après, effectivement, la question, c'est comment on fait pour "fabriquer" le vecteur nul à partir d'une base... vide...
La réponse est très simple : dans absolument n'importe quel ensemble muni d'une addition formant une loi de groupe, la somme de "rien", ça fait l'élément neutre de l'addition : c'est une convention indispensable et très naturelle vu qu'on veut que, pour deux ensembles d'indices et disjoints on ait et que, si tu prend alors .

Merci à toi, ton explication est très claire