Norme triple

par **Claire91** » 29 Avr 2010, 09:30

Bonjour,
Je suis en fin de sup et nous venons de commencer le cours sur le calcul différentiel et donc d'introduire la topologie dans un evn.
On a défini la norme triple comme

Ma question: existe-elle toujours? Si oui, pourquoi?

par **Finrod** » 29 Avr 2010, 09:42

Il me semble que l'on peut prouver en dimension finie qu'elle est majoré par le max des valeurs propres.

Cela dit, je n'ai pas la preuve sous la main, là.

ps : Si la norme triple n'existait pas pour certaines fonctions, ce ne serait pas une norme.

par **alavacommejetepousse** » 29 Avr 2010, 10:10

bonjour
n est ce pas ds ton cours

elle existe ssi

f est bornée sur E

f bornée sur la sphère unité
f bornée sur la boule unité
f continue
f continue en 0
f est lipischtizienne

toutes ses propositions étant équivalentes et sont vraies en dim finie

par **Claire91** » 29 Avr 2010, 10:49

Merci, on ne définit donc pas de norme triple en dimension infinie? Comme j'ai cherché une réponse à ma question avant de la poser, j'ai bien vu que si.
Il doit y avoir des conditions.

D'autre part plaçons nous en dimension finie : E=

f:x->x^2 est continue, continue en O mais n'est pas lipschitzienne, encore moins bornée.
Je suppose que vous parliez d'un ensemble E fini, borné, genre segment.

La question a été soulevée en cours mais est restée sans réponse: "vous chercherez..."

par **Finrod** » 29 Avr 2010, 11:05

Ne parles-ton pas de fonction linéaires ? x->x² n'est pas linéaire.

Ce qui est typiques des applications linéaires est par ex le fait que la continuité en zéro implique la continuité partout.

J'ai moi aussi l'impression qu'alava voulait dire vrai en dim infini. Je n'ai pas revu ce cours depuis la prépa, je ne me risquerait pas à trop de suppositions.

Car en dimension finie, pour les applications linéaires, ça m'a bien l'air toujours vrai. Sur la boule unité, on majore facilement pour la norme 1 matricielle.

par **lapras** » 29 Avr 2010, 11:12

Salut,
comme l'a dit alavacommejetepousse,
u linéaire est continue ssi sa norme triple est finie. ( différent de l'infini).
en général (dimension éventuellement infinie) on a toujours la propriété :
u continue <=> u lipschitzienne

En dimension infinie, je ne comprends pas ton exemple, il faut se placer dans l'ensemble des fonctions continues de R vers R.
Le f que tu as prix (f : R-> R) n'est absolument pas linéaire !

par **Ben314** » 29 Avr 2010, 11:23

Salut,
un petit "rappel" : si E est un E.V.N. de dim fini alors toutes les normes sur E sont équivalentes et les parties compactes de E sont les parties fermées et bornées (pour une norme quelconque).
En particulier, la boule fermée de centre 0_E et de rayon 1 (pour une norme quelconque) est compacte et cela assure que pour toute application linéaire f:E->F (ou F est un E.V.N. de dim quelconque), non seulement |||f||| existe, mais en plus elle est atteinte.

Par contre, la valeur numérique de |||f||| dépend (évidement) des normes choisies sur E et F.
En fait, elle est égale à la racine carrée de la plus grande valeur propre de f*of (qui correspond à une matrice symétrique positive) dans le cas où E et F sont munis d'une norme issue d'un produit scalaire ou d'un produit hermitien.

par **alavacommejetepousse** » 29 Avr 2010, 12:50

aurais je été peu clair

en dim finie toute application linéaire est continue donc lll lll existe toujours

en dim infinie il faut l'une des propriétés mentionnées pour pouvoir définir lll lll
donc des fois oui des fois non

par **Claire91** » 29 Avr 2010, 13:10

Merci encore
En effet mon exemple n'était absolument pas pertinent et pour cause, je n'avais pas compris que f devait être linéaire.
J'impute cette erreur au fait que je suis une débutante en la matière.
Tout est très clair maintenant.
Comme je suis en sup, la dimension infinie n'est pas au programme mais il est important de voir que la définition d'une telle norme n'est pas triviale.
:++:

par **Ben314** » 29 Avr 2010, 13:59

alavacommejetepousse a écrit:aurais je été peu clair

Si, ton post aurait été tout ce qu'il y a de plus clair... si j'avais pas "oublié" de le lire... :mur:

Donc, désolé pour la "Redite"...

par **Finrod** » 30 Avr 2010, 07:32

@alava

ça y est je vois ce que tu voulais dire. Tous les points sont vrai en dimension finie.

Je croyais que tu disais que l'équivalence entre ces différents points était vraie en dimension finie uniquement... or ça ne pouvait pas être ça puisque cette équivalence n'est finalement intéressante qu'en dimension infinie.

par **alavacommejetepousse** » 30 Avr 2010, 08:00

un exemple très simple

E = R[X]
f : E ->R avec
f(P) = P(2)

si on prend ll Pll = supl P(t) l sur [1,2] f est continue et lll f lll = ?

si on prend ll P ll ' = sup l P(t) l sur [0,1] f n 'est pas continue pourquoi ?

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