Calcul d'un volume grâce à une intégrale triple.

[Kinoa]

Bonjour à tous ,

On me demande de calculer le volume de la partie interne délimitée par ce cône :

et le corps :

{(x,y,z) | [TEX]x^2+y^2+z^2 = 0}

---

Je trouve sqrt(2)*(pi/6), mais je ne suis pas certain de mon résultat.. Si quelqu'un pouvez me dire ce qu'il en pense, ça serait sympa, vu que j'ai un peu de mal à dessiner le domaine en question..

Merci d'avance pour votre aide.


P.S : pour arriver à ce résultat, je précise que je suis passé en coordonnées polaires : x = rcos(theta), y = rsin(theta), z = z.

Puis intégrale triple : theta compris entre 0 et 2*pi, r entre 0 et sqrt(2)/2, et z compris entre 0 et 1.
La fonction que j'ai intégré c'est r multiplié par le jacobien r également, ce qui me donne à intégrer r^2.

[Pythales]

Bonjour à tous ,

On me demande de calculer le volume de la partie interne délimitée par ce cône :

et le corps :

{(x,y,z) |


ce qui donne

[chan79]

Il faut passer en vraies coordonnées polaires



ce qui donne

oui, on peut aussi ajouter les volumes d'un cône et d'une calotte sphérique mais c'est plus rapide avec une intégrale triple
j'arrive à

[Kinoa]

C'est bien noté, merci :).

[Kinoa]

Bonjour,

Pardon de faire remonter le sujet,

Mais après avoir tenté de refaire l'exercice, je bloque sur l'encadrement de théta et de phi. Je suis bien passé en coordonnées sphériques, cependant je n'arrive qu'a encadrer correctement r, pour théta et phi, je ne suis pas sûr de saisir d'où vient l'encadrement..

Merci d'avance.

[Doraki]

Fais voir ton dessin. Normalement on voit très clairement les bornes à mettre.

;) est l'angle entre le demi-axe [O z+) et le vecteur OM
;) est l'angle entre le demi-plan [Oz x+) et le demi-plan [Oz M)

[Kinoa]

Visuellement, oui, je suis d'accord à toi. Seulement il me semble que ce n'est pas une justification suffisante.

Habituellement avec les conditions de départ, j'arrive à trouver des encadrements de théta et phi (pas toujours évident à voir..) non ?

Merci bien.

[Doraki]

Ton domaine est délimié par les inégalités
0 <= z
x²+y² <= z²
x²+y²+z² <= 1

Après changement de coordonnées, tu as x²+y² = r²sin²;)cos²;) + r²sin²;)sin²;) = r²sin²;), et donc
tu cherches les triplets (r,;),;)) de R+ * [0;;)] * [0 : 2;)] tels que :

0 <= r cos ;)
r²sin²;) <= r²cos²;)
r² <= 1

r et sin ;) sont positifs donc :
0 <= rcos ;) <=> 0 <= cos ;) (sauf si r=0 mais on s'en fiche ça n'a pas d'influence dans l'intégrale),
r²sin²;) <= r²cos²;) <=> 0 <= sin;) <= |cos;)|,
r² <= 1 <=> 0 <= r <= 1

Donc tu obtiens finalement :
0 <= sin ;) <= cos ;)
0 <= r <= 1,
ce qui donne r dans [0;1], ;) dans [0 : ;)/4], et ;) dans [0 ; 2;)]

[Kinoa]

[quote="Doraki"]Ton domaine est délimié par les inégalités
0 0 0 0 0 <= sin;) <= |cos;)|

Bref, c'est clair maintenant.

Merci beaucoup d'avoir pris le temps de répondre Doraki.

A bientôt.

(Bonne fête de la musique ^^).