Calcule volume (integrale triple)

[lumpy]

bonjour, je travaille sur un exercice et je bloque sur les bornes d'intégration

Exo:
S1 = { (x.y.z) / z= x^2+y^2 }
S2 = { (x.y.z) / x^2+y^2+z^2=6 }
calculez le volume.

alors le domaine c'est l'intersection d'une sphere de centre (0.0.0) et de R=sqrt(6) et d'un paraboloïde.

je passe en coordonne cylindrique:
0 < ø < 2pi
0 < r < sqrt(2)
r^2 < z < sqrt(6-r^2)
je bloque sur l'intégration par rapport a r

je passe en coordonne sphérique :

0 < ø < 2pi
0 < ;) < pi/2
0 < r < sqrt(6)
et je trouve V = sqrt(6)4pi = 30 et j'ai des doutes sur le résultat
pouvez vous m'aidez ?
merci

[Ben314]

Salut,
vu que le volume de la boule (ce n'est pas une sphère, sinon son volume serait nul !!!) est (4/3)pi R^3 = 8pi racine(6), il faut t'attendre à avoir un volume plus petit que 4pi racine(6) selon que tu considère le volume au dessus du paraboloïde ou celui en dessous.

[lumpy]

merci pour la remarque "la sphère est une surface; la boule est un volume"
le volume doit être plus petit car le domaine est a l'intérieur du paraboloïde.
l'erreur doit être dans les bornes mais je ne la trouve pas

[Ben314]

Perso, vu que toutes les coupes de ton truc par un plan z=cst sont des disques, j'intégrerais bètement en z.
Il faut que x²+y²<z et que x²+y²<6-z² donc z entre 0 et racine(6)
Comme z<6-z² sur [0,2], et que la surface d'un disque est pi.r², ton volume est :

(aux erreurs prés...)

[lumpy]

oui c'est ce que je trouve je vous remercie
mais comment obtenir les bornes pour calculer la masse et le centre d'inertie

[Ben314]

Ben, la masse, si c'est de densité constante, c'est le volume fois la densité, sinon, faut intégrer la densité et la meilleure méthode dépend de la forme de la formule qui donne la densité.
Pour le centre de gravité, pour des raisons de symétrie, il est sur l'axe des z et tu calcule sa cote (i.e. sa coordonnée en z) avec la même intégrale que ci dessus où tu rajoute un "z" dans les intégrales.

[lumpy]

je viens de finir
merci bcp ;)

[Arnaud-29-31]

Attention, en intégrant le volume des cylindres élémentaires de rayon x² + y² = 6 - z² et de hauteur dz suivant z entre 0 et sqrt(6), on sort du volume à partir de z égal à la cote du disque d'intersection du paraboloide et de la sphère !