Norme dans C([a,b],R)

[Mulan]

Bonjour je suis en train de faire des preuves pour montrer que la norme infini, 1 et 2 ne sont pas équivalentes dans C([a,b],R)

pour || f || infini qui ne peut etre inférieur à alpha ||f||1
J'ai trouvé une famille fn continues tel que ||fn||1 = 1 et ||f|| infini tend vers l'infini.
Et j'ai fait un raisonnement par l'absurde en étudiant une fonction.

Par contre je bloque pour trouver la non équivalence de norme de 2 et de norme infini, et de norme 1 et de norme 2 sur C([a,b],R). J'ai essayé la même méthode mais je ne trouve pas de modele de famille à faire ni de fonctions pour contredire l'absurde.

Merci

[girdav]

Pour la non-équivalence des normes 2 et infinie, c'est le même principe : on prend une fonction f_n continue positive dont le max vaut n mais dont l'intégrale du carré vaut 1.
Pour l'autre, on peut essayer f_n(x)=(x-a)^n.