[MPSI] Fonction lineaire dans R^3 et norme

[Anonyme]

Bonsoir,

J'ai eu cet exo en colle, je ne vois pas comment le finir,
pourriez-vous me donner des indications ?

(Avec les prérequis du chapitre sur la géométrie dans l'espace)

Soit une application f: R^3 -> R^3, non identiquement nulle.
- linéaire, ie qqs u,v dans R^3, qqs a,b dans R :
f(au+bv) = af(u)+bf(v).
- conservant le produit vectoriel _ ,
qqs u,v dans R^3 f(u_v) = f(u)_f(v).
Démontrer que f est une isométrie ie :
||f(u)|| = ||u||

Questions intermédiaires :
-Dq qqs u,v dans R^3, u et v orthogonaux,
il existe w tel que v=u_w.
-Dq si u != 0 alors f(u) !=0.


Merci d'avance.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

On 6 Nov 2003 18:56:05 GMT, Michel wrote:

>Bonsoir,
>
>J'ai eu cet exo en colle, je ne vois pas comment le finir,
>pourriez-vous me donner des indications ?
>
>(Avec les prérequis du chapitre sur la géométrie dans l'espace)
>
>Soit une application f: R^3 -> R^3, non identiquement nulle.
>- linéaire, ie qqs u,v dans R^3, qqs a,b dans R :
> f(au+bv) = af(u)+bf(v).
>- conservant le produit vectoriel _ ,
> qqs u,v dans R^3 f(u_v) = f(u)_f(v).
>Démontrer que f est une isométrie ie :
> ||f(u)|| = ||u||
>
>Questions intermédiaires :
> -Dq qqs u,v dans R^3, u et v orthogonaux,
> il existe w tel que v=u_w.
> -Dq si u != 0 alors f(u) !=0.
>
si u=0, c'est vrai
pour u=/=0 on considère v tel que u.v=0
et x=(u_v)/||u||^2
donc x_u=v
f(x)_f(u)=f(v)
on en déduit f(x) à l'aide de f(u) et f(v)
(formule du double produit vectoriel et résolution de x_p=q):
f(x)=f(u)_f(v)/||f(u)||^2+kf(u)
que l'on compare à
f(x)=f(u)_f(v)/||u||^2

>Merci d'avance.
>--
>Michel [overdose@alussinan.org]

*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam : ôter antispam, les 3 lettres devant wana et bien sûr le .invalid

http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/

*****************