Nombres premier et espace ultrametrique

[nemesis]

bonsoir encore

est ce que quelqu'un aurait un plan pour attaquer cet exercice :

Soit p un nombre premier. Pour n dans N on définit v(n) comme étant l;)exposant de p dans la
décomposition de n en facteurs premiers. Pour x = ±a/b (a, b dans N*), on définit v(x) = v(a);)v(b).
1. Montrer que v(x) est indépendant du choix de la représentation ±a/b.
2. Montrer que v(xy) = v(x) + v(y), x, y dans Q.
3. Montrer que v(x + y) > min(v(x), v(y)) pour x, y dans Z, puis pour x, y dans Q.
4. Montrer que sur Q, d définie par :
d(x, y) = p^(;)v(x;)y)) si x est different de y et d(x, x) = 0
est une distance ultramétrique.

merci pour toute aide.

[Ted]

Le debut a pas l'air tres compliqué. Faut savoir jonglé avec les notations.

1) par definition de v si en particulier a et b premier entre eux v(x)=v(a)-v(b).

avec x=a'/b'=[pgcd(a',b')*a]/[pgcd(a',b')*b] je vois 2 cas:
si pgcd(a',b') n'est pas multiple de p v(a')=v(a) et v(b')=v(b)
si pgcd(a',b') est un multiple de p^n v(a')=v(a)+n et v(b')=v(b)+n

2) on pose x=a/b et y=c/d donc xy=(ac)/(bd)
si a est multiple de p^n et c de p^m alors ac est multiple de p^(n+m).
En faisant la meme chose pour bd on retrouve la formule

Je pense qu'il y a un peu plus de calcul dans la suite mais ça ne me semble pas plus compliqué.
Je jete un oeil et je te tiens au courant si tu veux

[nemesis]

ok ,j'essaye encore de mon coté

[serge75]

Pour info, cette distance s'appelle la distance p-adique.