Nombres de Fermat

[Anonyme]

Salut tout le monde, merci de m'aider à résoudre ce probleme c'est un peu urgent, voici l'énoncé:

Pour tout , on pose: .

1- Montrer que : , on a :


2- En déduire que l'ensemble des nombres premiers est infini.

Merci d'avance.

[yos]

Suppose m>n et pose m=n+p.
(Fm)-1=2^(2^(n+p))=[2^(2^n)]^(2^p)=[(Fn)-1]^(2^p)
En développant la dernière expression avec la formule du binôme, on obtient une relation u(Fm)+v(Fn)=2 où u et v sont des entiers qu'il n'y a pas à expliciter. Ainsi le PGCD de Fn et Fm divise 2 et il est clair que ce n'est pas 2.

La 2ème question est banale car tu prends un diviseur premier de chaque nombre de Fermat et tu as une infinité de nombre premiers.