Nombres Complexes & équation du 2nd degré

[iZo]

Salut à tous !
Début de l'année, je viens d'entrer en MPSI et je galère déjà... Je doit faire l'exo ci-dessous, et j'aimerai avoir des pistes pour la première question. Je ne sais pas du tout dans quelle direction partir...

Merci d'avance

[fahr451]

bonsoir

combien vaut la somme des racines dans l'équation du second degré ?

[iZo]

Ah oui effectivement c'est nettement plus simple comme ça ^^
Merci beaucoup pour l'aide !

Je garde ce topic sous la main j'aurai peu être besoin d'aide pour la suite.

[iZo]

Bon en fait pour le 2), j'arrive à trouver :

Z1 = cos ;) + i sin ;) + 1 et Z2 = cos ;) + i sin ;) - 1

Le problème étant que ça me donne comme modules :
|Z1| = ( 2 cos ;) + 2 ) ^ 1/2 et |Z2| = ( - 2 cos ;) + 2 ) ^ 1/2

Et je vois pas comment me démerder pour trouver un argument avec ça ? :doh:

[fahr451]

utilise la transformation fort utile


exp (i a) + - 1 = exp (ia/2) [ exp (-ia /2) + - exp (ia/2)] et les formules d 'euler

[iZo]

Ca marche pour Z1 mais pas pour
Z2 = cos ;) + i sin ;) - 1

Au final ça me donne

Z2 = exp ( i ;) / 2 ) . 2 i sin ( ;) / 2 )

et si je développe ça me donne ce que j'avais au début !

En tout cas merci de t'occuper de moi^^

[fahr451]

qu'est ce qui "marche" ou pas?

les deux formes sont agréables



z2= 2isin(a/2) exp (ia/2) = 2 sin(a/2) exp [i (a+pi)/2]

avec a dans [-pi , pi ]

a/2 dans -pi/2 ,pi/2

si a> 0 le sin est positif le module est 2 sin(a/2) un argument (a+pi)/2
si a<0 sin négatif -2sin(a/2) (a+3pi)/2

[flight]

le nombre complexe Zm milieu de Z1 et Z2 est donné par Zm= (Z2-Z1)/2

Z1 et Z2 vérifiant z²-2z(cosµ+isinµ)-2(sinµ-icosµ).sinµ=0

on peut ecrire

z1²-2z1(cosµ+isinµ)-2(sinµ-icosµ).sinµ=0 (1)

et

Z2²-2Z2(cosµ+isinµ)-2(sinµ-icosµ).sinµ=0 (2)


en faisant (1) -(2) il vient ;

(Z1²-Z2²)+2(cosµ+isinµ).(Z2-Z1)=0

soit (Z1-Z2)(Z1+Z2) +2(cosµ+isinµ).(Z2-Z1)=0


en divisant cette égalité par 2 il vient -Zm.(Z1+Z2)+2(cosµ+isinµ).Zm=0 (3)

comme Z2=2Zm+Z1 il vient à partir de (3)

-2Zm²+2(cosµ+isinµ).Zm=0 soit aussi Zm²-Zm.e^(iµ)=0

soit aussi (Zm-1/2.e^(iµ))² -(1/4).e^(-2iµ)=0

donc Zm decrit un cercle de centre complexe W (1/2.e^(iµ)) ,0 )

et de rayon 1/2 à verifier

[fahr451]

le nombre complexe Zm milieu de Z1 et Z2 est donné par Zm= (Z2-Z1)/2

flight attention au crash au décollage...

[iZo]

C'est bon je suis enfin venu à bout de cet exercice, merci beaucoup fahr451!
Je suis pas encore très à l'aise avec les manipulations des formes exponentielles, j'espère que ça va venir à force ^^