Nombres complexes & transformations conformes

[KCP]

bonjour,

Je voulais preparer mon td de maths mais je n'arrive pas à faire grand chose...
Si quelqu'un pouvais m'aider à demarrer au moins :)

exo 1 :
Demontrer que les racines d'un polynome du second degres à coefficient réels sont soit réelles soient complexe conjugées l'une de l'autre. Que pouvez vous dire des racines d'un polynome du 3ieme degres, toujours à coefficients réels?

Exo 2:
Demontrer que la transformation z=>z'=;)/z ... je me suis dit que je pouvais passer z sous la forme a+ib ou e(i;)) ... mais après... Dans mon cours je n'ai rien trouvé qui pouvait m'aider...

Merci

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

Un trinôme a toujours 2 racines (ou une racine double).
Commence par montre que si z (complexe) est une racine alors son conjugué est aussi une racine.

[Deliantha]

Que fait-on pour avoir les racines ?
Complète aussi l'exo 2 manquant.

[Luc]

bonjour,

Je voulais preparer mon td de maths mais je n'arrive pas à faire grand chose...
Si quelqu'un pouvais m'aider à demarrer au moins

exo 1 :
Demontrer que les racines d'un polynome du second degres à coefficient réels sont soit réelles soient complexe conjugées l'une de l'autre. Que pouvez vous dire des racines d'un polynome du 3ieme degres, toujours à coefficients réels?

Exo 2:
Demontrer que la transformation z=>z'=;)/z ... je me suis dit que je pouvais passer z sous la forme a+ib ou e(i;)) ... mais après... Dans mon cours je n'ai rien trouvé qui pouvait m'aider...

Merci

Salut,

l'équation du second degré est étudiée en terminale S, reprend ton cours.
Pour le 3ème degré, commence par montrer que tout polynôme du 3ième degré à coefficient réels
admet une racine réelle (pense au théorème des valeurs intermédiaires).
Pour l'exo 2, quelle est la question?

[KCP]

Que fait-on pour avoir les racines ?

Complète aussi l'exo 2 manquant.

pour trouver les racines ont resoud P(X)= 0 avec X les racines! donc dans ce cas on a X= (-b +/-(racine )) / 2a

Oups pour la fin de la question ^^
Demontrer que la transformation z=>z'=;)/z converve les angles.

[KCP]

Salut,

l'équation du second degré est étudiée en terminale S, reprend ton cours.
Pour le 3ème degré, commence par montrer que tout polynôme du 3ième degré à coefficient réels
admet une racine réelle (pense au théorème des valeurs intermédiaires).
Pour l'exo 2, quelle est la question?

J'ai pas fait de termine S du coup c'est pour ca que je suis un peu perdue...!
Et la fin de la question 2 c'est qu'il faut demontrer que la transformation z=>z'=;)/z converve les angles.

[Luc]

J'ai pas fait de termine S du coup c'est pour ca que je suis un peu perdue...!

Ok, tout s'explique!
Pour répondre à cette question, tu as besoin de connaître :
- la méthode de résolution de ax^2+bx+c=0 avec le discriminant .
- les nombres complexes pour pouvoir calculer quand puisqu'une homothétie de rapport conserve les angles.
Ensuite, si tu prends deux points et , et leurs images (A',B'), il s'agit de montrer que l'angle (OA,OB) est le même que (OA',OB').

[KCP]

Salut,

l'équation du second degré est étudiée en terminale S, reprend ton cours.
Pour le 3ème degré, commence par montrer que tout polynôme du 3ième degré à coefficient réels
admet une racine réelle (pense au théorème des valeurs intermédiaires).
Pour l'exo 2, quelle est la question?

Pour le 3ieme degres si je dis qu'en + infini ma fonction tend vers + infini et qu'en - infini ma fonction tend vers moins l'infini donc que neccesaire d'apres le theoreme des valeurs intermediaires, le polynome s'annule donc pour une valeur ?

[Luc]

Pour le 3ieme degres si je dis qu'en + infini ma fonction tend vers + infini et qu'en - infini ma fonction tend vers moins l'infini donc que neccesaire d'apres le theoreme des valeurs intermediaires, le polynome s'annule donc pour une valeur ?

oui! fais juste attention à appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction polynomiale et non au polynome (ce qui n'aurait pas de sens), et à justifier que la fonction polynomiale est continue.
Un zéro de la fonction polynomiale correspond à une racine du polynôme associé.

[KCP]

oui! fais juste attention à appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction polynomiale et non au polynome (ce qui n'aurait pas de sens), et à justifier que la fonction polynomiale est continue.
Un zéro de la fonction polynomiale correspond à une racine du polynôme associé.

"question bete"
C'est quoi la différence entre la fonction polynomiale et le polynôme?
Polynome par exemple ax² +bx + c ? et la fonction ?

Du coup pour la première partie, je sais que p(z) = (-b +/-(racine )) / 2a mais apres je vois pas comment montrer que z est solution...

[Luc]

"question bete"
C'est quoi la différence entre la fonction polynomiale et le polynôme?
Polynome par exemple ax² +bx + c ? et la fonction ?

Très bonne question!

La fonction polynomiale est une fonction, c'est à dire qu'elle prend en entrée une valeur (par exemple un nombre réel) et elle renvoie une valeur (par exemple un nombre réel). On l'écrit

Le polynôme n'est pas une fonction. C'est une suite finie de coefficients. Ici, un triplet de coefficients (a,b,c). On l'écrit P(X)=aX^2+bX+c, avec un grand X pour le distinguer de la fonction polynomiale. X est appelée l'indéterminée.

Il y a une identification entre la fonction polynomiale et le polynôme, mais disons que ce ne sont pas les mêmes objets, on peut par exemple définir des polynômes d'autres choses que des nombres réels.

Du coup pour la première partie, je sais que p(z) = (-b +/-(racine )) / 2a mais apres je vois pas comment montrer que z est solution...

Je ne vois pas qui est p(z). En plus il n'y a pas de z a droite...
Par contre ce que tu sais, c'est que si est racine du polynôme P, alors P se factorise par . . Quel est le degré de Q?

[KCP]

Très bonne question!

La fonction polynomiale est une fonction, c'est à dire qu'elle prend en entrée une valeur (par exemple un nombre réel) et elle renvoie une valeur (par exemple un nombre réel). On l'écrit

Le polynôme n'est pas une fonction. C'est une suite finie de coefficients. Ici, un triplet de coefficients (a,b,c). On l'écrit P(X)=aX^2+bX+c, avec un grand X pour le distinguer de la fonction polynomiale. X est appelée l'indéterminée.

Il y a une identification entre la fonction polynomiale et le polynôme, mais disons que ce ne sont pas les mêmes objets, on peut par exemple définir des polynômes d'autres choses que des nombres réels.

Je ne vois pas qui est p(z). En plus il n'y a pas de z a droite...
Par contre ce que tu sais, c'est que si est racine du polynôme P, alors P se factorise par . . Quel est le degré de Q?

Merci Je vais reflechir à tout ca alors!

[KCP]

Très bonne question!

La fonction polynomiale est une fonction, c'est à dire qu'elle prend en entrée une valeur (par exemple un nombre réel) et elle renvoie une valeur (par exemple un nombre réel). On l'écrit

Le polynôme n'est pas une fonction. C'est une suite finie de coefficients. Ici, un triplet de coefficients (a,b,c). On l'écrit P(X)=aX^2+bX+c, avec un grand X pour le distinguer de la fonction polynomiale. X est appelée l'indéterminée.

Il y a une identification entre la fonction polynomiale et le polynôme, mais disons que ce ne sont pas les mêmes objets, on peut par exemple définir des polynômes d'autres choses que des nombres réels.

Je ne vois pas qui est p(z). En plus il n'y a pas de z a droite...
Par contre ce que tu sais, c'est que si est racine du polynôme P, alors P se factorise par . . Quel est le degré de Q?

Merci pour la définition...

Le degre de Q correspond au degre de mon polynome-1 non ?

[Luc]

Merci pour la définition...

Le degre de Q correspond au degre de mon polynome-1 non ?

oui, donc ici puisque P est de degré 3?

[KCP]

oui, donc ici puisque P est de degré 3?

donc Q(X) est de degres 2
Donc comme mon polynome est de degres 3 j'aurais neccesairement 3 racines? (puisqu'un polynome ne peut pas avoir plus de racines que de degres)

[Luc]

donc Q(X) est de degres 2
Donc comme mon polynome est de degres 3 j'aurais neccesairement 3 racines? (puisqu'un polynome ne peut pas avoir plus de racines que de degres)

ben ça dépend dans quel ensemble de racines tu te places. ou ?.
Effectivement, un polynôme de degré 3 a AU PLUS 3 racines, mais ça ne veut pas dire qu'il a forcément 3 racines. Il faut utiliser la question précédente pour voir les 2 cas possibles.

[KCP]

ben ça dépend dans quel ensemble de racines tu te places. ou ?.
Effectivement, un polynôme de degré 3 a AU PLUS 3 racines, mais ça ne veut pas dire qu'il a forcément 3 racines. Il faut utiliser la question précédente pour voir les 2 cas possibles.

Je sais que j'ai au moins une racine dans R...
Apres j'obtiens Q(X) du second degres et là je sais que j'ai 2 racines dans C et dans R aussi!

Donc maintenant faudrai que j'arrive à resoudre la premiere partie de la question ^^

[Luc]

Je sais que j'ai au moins une racine dans R...
Apres j'obtiens Q(X) du second degres et là je sais que j'ai 2 racines dans C et dans R aussi!

Tu as 2 racines dans R, ah bon? Le polynôme X^2+1 il a deux racines dans R?

Donc maintenant faudrai que j'arrive à resoudre la premiere partie de la question ^^

Qu'est-ce qui te pose problème? Tu sais résoudre une équation du second degré ou non?

[KCP]

Tu as 2 racines dans R, ah bon? Le polynôme X^2+1 il a deux racines dans R?

euh bah non...


Qu'est-ce qui te pose problème? Tu sais résoudre une équation du second degré ou non?

Oui ca je sais mais cest pour montrer que les racines sont soient réelles soient complexe conjugés. Relles je pense que je sais, en calculant le discriminant mais apres pour les complexes...
Je dois y aller je vais mediter tout ca et essayer de trouver la solution! Merci beaucoup en tout cas!

[Luc]

Oui ca je sais mais cest pour montrer que les racines sont soient réelles soient complexe conjugés. Relles je pense que je sais, en calculant le discriminant mais apres pour les complexes...
Je dois y aller je vais mediter tout ca et essayer de trouver la solution! Merci beaucoup en tout cas!

Ça marche bon courage!
Il y a deux cas pour l'équation du second degré:
1) discriminant positif => deux racines réelles (ou une racine double si discriminant nul).
2) discriminant strictement négatif => deux racines complexes conjuguées, non réelles.