Nombre premier et division

[dracorage]

Bonjour,

J'ai besoin de votre aide pour l'exercice suivant :

Soit p un nombre premier. Prouver qu'il existe une infinité d'entiers n tels que p divise
2^n + 3^n + n.

Je ne vois pas par où commencer.

Merci.

[L.A.]

Bonjour,

je n'ai pas la solution complète, mais on peut essayer de dégrossir la question :
tu peux montrer que si p>=5 et si n et n' sont congrus modulo (p-1)p, alors (2^n+3^n+n) et (2^n'+3^n'+n') sont congrus modulo p.
Il restera ensuite à montrer qu'il existe au moins un entier n tel que.

[Rdvn]

Bonjour,
Voici un plan de travail, p étant un entier premier, p>ou= 5

On cherche n entier positif tel que
2^n+3^n+n=0 [mod p]

-)On pose n=k(p-1), k entier, k>0,
par le théorème de Fermat on a
2^n=1 [mod p]
3^n=1 [mod p]
-) Pour que n soit solution il suffit que n = -2+u.p, u entier,
il vient :
u.p-k.(p-1)=2
p et p-1 étant premiers entre eux (PGCD(p,p-1)=1)
la relation de Bezout-Bachet permet de construire une infinité de solutions
à cette équation, dont une infinité de k>0
-) Cette méthode ne donne peut être pas toutes les solutions,
mais elle en donne une infinité, comme demandé.
(à adapter pour p=2 ou p=3)

Il vous reste à rédiger, justifier les étapes
Proposez vos essais, bon courage