Le nombre e est irrationel

[AceVentura]

Bonsoir,

je cherche à prouver l'irrationalité du nombre e. Pour cela, j'ai établit l'inégalité avec , cela pour tout (on a utilisé Taylor-Laplace et l'inégalité de Taylor-Lagrange). Je n'ai pas compris la conclusion : il est écrit que c'est absurde car compris strictement compris entre deux entiers. Pouvez-vous m'éclairer ? Merci par avance !

Par ailleurs, je cherche une autre méthode. On a et je me demande si les suites sont adjacentes, et si cela peut servir à démontrer l'irrationalité du nombre e ?

Merci d'avance !

[Doraki]

t'es sur que t'as pas plutôt n!An < n!e < 1 + n!An ?

Par construction de An, n!An et 1 + n!An sont toujours deux entiers consécutifs.

Imagine que e soit une fraction e = a/b. Alors en prenant n = b,
b!e est un entier qui doit etre compris strictement entre deux entiers consécutifs...

[AceVentura]

Ben (avec l'inégalité de Taylor-Lagrange) dès que . Donc .

Ensuite, si alors avec , je trouve c'est à dire . Finalement, on va voir que l'entier (je vois bien que s'en est un !) est compris entre n!A et n!A+1 : donc la je vois pas pourquoi ce sont des entiers ceux là !

[Le_chat]

Bah en se rappelant ce qu'est A:
donc
soit ce qui est clairement naturel.

[AceVentura]

Ok ! Merci !