Irrationel

[legeniedesalpages]

Bonsoir,

je ne vois pas comment montrer que n'est pas rationnel.

Merci pour votre aide.

[Nightmare]

Bonsoir :happy3:

Par exemple on peut chercher un polynôme annulé par cos(2pi/5). A priori 4X²+2X-1 fait l'affaire.

Supposons qu'il existe p et q copremiers tels que cos(2pi/5)=p/q

Alors on a 4p²/q²+2p/q-1=0
Ie en multipliant par q² :
4p²+2pq-q²=0
Soit 4p²=q²-2pq

Comme q divise le membre de droite, q divise 4p²
Comme q est premier avec p, on en déduit que q divise 4

De même on a 4p²+2pq=q²
p divise le membre de gauche donc p divise q² et comme p est premier avec q on en déduit que p=1.

On a alors plus trop le choix, si cos(2pi/5) était rationnel, il ne pourrait être qu'égal à 1, 1/2 ou 1/4. On vérifie aisément qu'il n'est égal à aucun des 3. Donc il est irrationnel.

:happy3:

[legeniedesalpages]

bonjour jord, comment tu as trouvé que 4X²+2X-1 faisait l'affaire :doh:

[lapras]

c'est exactement ce que je suis en train de chercher lol
D'un coté, on peut aisément calculer cos(pi/5) avec la formule de moivre et le binôme de newton donc en déduire cos(2pi/5) et vérifier peut etre en tatonnant que c'est une racine de ce polynome.
:happy2:

[legeniedesalpages]

ah oui c'est vrai j'avais oublié ces formules, merci lapras, je vais chercher ça. :)

[legeniedesalpages]

D'un coté, on peut aisément calculer cos(pi/5) avec la formule de moivre et le binôme de newton donc en déduire cos(2pi/5)

euh comment on calcule cos(pi/5) déjà? :hein:

[Joker62]

http://pagesperso-orange.fr/gilles.costantini/prepas_fichiers/pentagone.pdf

Un p'tit truc sympa

[legeniedesalpages]

quel génie ce joker, mille mercis

pile en rapport avec l'exercice que je suis en train de faire et qui m'a fait poser ce post:

On considère les polynômes et

a) déterminer les racines de P et Q qui appartiennent à

b) donner la décomposition en facteurs irréductibles de P, resp dans et

c) donner la décomposition en facteurs irréductibles de Q dans ,

d) Montrer que Q est irréductible dans ,

donc pour d), je trouvais

Donc voilà pour répondre à la d), je cherchais pour pourquoi est irrationnel

[BQss]

Donc voilà pour répondre à la d), je cherchais pour pourquoi est irrationnel

T'es tellement ému d'avoir trouvé que tu en begaies

[legeniedesalpages]

:lol: désolé

[Joker62]

Loool, à chacun son cadeau de Noël :p Hein BQss ;)

[BQss]

Va falloir que je trouve le mien :ptdr:

PS:private joke, donc vous inquietez pas de ne pas comprendre. :marteau:

[lapras]

pas mal ton pdf Joker !
C'est assez ingénieux leur systeme avec x1x2 et x1+x2 en passant par la forme exponentielle. :++:

[Joker62]

C'est pas le mien malheuresement !
Mais n'empêche que j'suis quand même un génie

Enfin c'est un génie lui même qui me l'a dit ! :D