Nilpotence et trigonalisation

[MacManus]

Bonsoir à tous!

Bon je m'aperçois que je ne parviens pas à trigonaliser la matrice 3x3 à coefficients réels suivante :



Après calculs, je trouve que le polynôme caractéristique de A est , que 0 est valeur propre triple (unique) de A et que l'espace propre associé à la valeur propre 0 est de dimension 1 : . On peut donc dire que A n'est pas diagonalisable. A est trigonalisable et semblable à une matrice triangulaire supérieure . Cad qu'il existe P telle que

Mon problème est ici : comment trouver les vecteurs de P (inversible) ils doivent former une base B', par exemple, on est d'accord, mais comment choisir de tels vecteurs ??

Je sais de plus que A est nilpotente d'indice 3 : avec et

Est-ce possible d'avoir de l'aide ? un grand merci !

[Maxmau]

Bj
Il existe un vecteur colonne X tel que : A²X non nul d’où aussi AX et X non nuls
Prends A²X , AX , X comme base

[MacManus]

Merci Hatake, je me suis rendu compte de mon erreur, j'ai corrigé et j'ai appliqué ta méthode...ok ! Quelle matrice triangulaire trouves-tu avec ce que tu m'a indiqué ?? (histoire de voir si je ne me suis pas trompé, même si elle n'est pas unique)

Merci Maxmau je préfère suivre ton indication (non pas que la réponse d'Hatake ne m'intéresse pas) car on emploie le fait que A soit nilpotente d'indice 3. D'après ce que tu dis, il faut que je calcul Ker A et Ker A² pour trouver des vecteurs qui forment une base... c'est bien ça ?(c'est déjà fait pour Ker A = Vect[(-1,1,2)])

merci d'avance

[Maxmau]

Re Bj
Non ce n'est pas tout à fait ça
Il faut commencer par déterminer un vecteur X non nul tel que A²X non nul ( X existe car A² non nulle)
et vérifier que A²X , AX , X constituent une base de R^3
et ds cette base la matrice est très simple