Anneau et nilpotence
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
-
Ncdk
- Membre Rationnel
- Messages: 758
- Enregistré le: 30 Mar 2014, 20:10
-
par Ncdk » 04 Oct 2015, 11:31
Bonjour,
J'avais une question sur un exercice, mais j'avoue que j'ai pas compris la résolution :ptdr:
Soit A un anneau et N(A) l'ensemble de ses éléments nilpotents.
Dans l'exercice on a montré que :
1) N(A) est un idéal de A
2) Soit I un idéal de A,
est un idéal de A contenant I et N(A)
Je dois déterminer
et
-
zygomatique
- Habitué(e)
- Messages: 6928
- Enregistré le: 20 Mar 2014, 13:31
-
par zygomatique » 04 Oct 2015, 11:45
salut
tout d'abord déterminer N(Z/nZ) ...
quels sont les éléments nilpotents de Z/nZ ?
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
-
Ncdk
- Membre Rationnel
- Messages: 758
- Enregistré le: 30 Mar 2014, 20:10
-
par Ncdk » 04 Oct 2015, 11:55
Je sais pas si ça répond correctement mais on a vu que par exemple :
,
qui est la projection canonique, et cette application est surjective.
Donc
s'écrit
où
Donc pour savoir qui est
c'est
et faut trouver les éléments nilpotents de cette ensemble si je dis pas de bêtises.
-
zygomatique
- Habitué(e)
- Messages: 6928
- Enregistré le: 20 Mar 2014, 13:31
-
par zygomatique » 04 Oct 2015, 12:46
a ben si tu ne sais pas déjà ce qu'est Z/nZ (ensemble des restes modulo n) ....
(Z/nZ, +, *) est un anneau
nilpotent ? pour l'addition ou la multiplication ?
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
-
Ncdk
- Membre Rationnel
- Messages: 758
- Enregistré le: 30 Mar 2014, 20:10
-
par Ncdk » 04 Oct 2015, 13:10
Je connais, du moins je connais mais avec une belle partie de flou, pour ça que je sais pas ce que je fais.
En gros si on prend l'élément n de Z/nZ, on peut le décomposer en produit de facteurs premiers
Donc on peut écrire
. Mais la question que je me pose déjà c'est de savoir si je prends un élément
si je lélève à la puissance
alors il vaudra 0 ou pas ? Si oui, x est un élément nilpotent de Z/nZ.
Du coup c'est nilpotent pour la multiplication pour répondre à ta question
-
MouLou
- Membre Rationnel
- Messages: 578
- Enregistré le: 17 Sep 2015, 11:00
-
par MouLou » 04 Oct 2015, 13:17
Ncdk a écrit:Je connais, du moins je connais mais avec une belle partie de flou, pour ça que je sais pas ce que je fais.
En gros si on prend l'élément n de Z/nZ, on peut le décomposer en produit de facteurs premiers
Donc on peut écrire
. Mais la question que je me pose déjà c'est de savoir si je prends un élément
si je lélève à la puissance
alors il vaudra 0 ou pas ? Si oui, x est un élément nilpotent de Z/nZ.
Du coup c'est nilpotent pour la multiplication pour répondre à ta question
Avec cette approche tu te rapproche de la réponse, mais c'est pas cela. La question peut effectivement etre reformulée de la manière suivante: quels entiers compris entre 0 et n-1 sont tels qu'élevés à une certaine puissance ils deviennent un multiple de n. Si tu regardes la décomposition de n en facteurs premiers (et en utilisant lemme de gauss etc sur les nombres premiers), à quelles conditions
est un tel nombre?
-
zygomatique
- Habitué(e)
- Messages: 6928
- Enregistré le: 20 Mar 2014, 13:31
-
par zygomatique » 04 Oct 2015, 13:20
oui c'est ça
ex : n = 12 alors 6^2 = 36 = 3 * 12 = 0 dans Z/12Z donc 6 est nilpotent ....
tu dois maintenant pouvoir donner tous les éléments nilpotents de Z/nZ dans le cas général ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
-
Ncdk
- Membre Rationnel
- Messages: 758
- Enregistré le: 30 Mar 2014, 20:10
-
par Ncdk » 04 Oct 2015, 13:47
Je vois pas, j'ai une idée quand même !
C'est quand les
divise x non ?
-
zygomatique
- Habitué(e)
- Messages: 6928
- Enregistré le: 20 Mar 2014, 13:31
-
par zygomatique » 04 Oct 2015, 14:07
regarde mon exemple ...
6 est nilpotent ...
2 est-il nilpotent ?
3 est-il nilpotent ?
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
-
Ncdk
- Membre Rationnel
- Messages: 758
- Enregistré le: 30 Mar 2014, 20:10
-
par Ncdk » 04 Oct 2015, 14:14
Non 2 et 3 ne sont pas nilpotents. Par contre
est nilpotent qui est 6.
Donc si on généralise c'est surement le
est nilpotent non ?
EDIT : Je crois que j'ai parlé trop vite.
c'est
donc
Donc 2 et 3 sont nilpotents au final. Et comme ils sont nilpotents, leur PPCM aussi.
-
zygomatique
- Habitué(e)
- Messages: 6928
- Enregistré le: 20 Mar 2014, 13:31
-
par zygomatique » 04 Oct 2015, 15:55
ben non !!!
existe-t-il n tel que 2^n = 0 ?
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
-
Ncdk
- Membre Rationnel
- Messages: 758
- Enregistré le: 30 Mar 2014, 20:10
-
par Ncdk » 04 Oct 2015, 17:36
En fait comment je peux le prouver qu'il existe pas 2 nilpotent dans ton exemple ? :doh:
-
zygomatique
- Habitué(e)
- Messages: 6928
- Enregistré le: 20 Mar 2014, 13:31
-
par zygomatique » 04 Oct 2015, 18:01
aucune puissance de 2 n'est multiple de 12 ...
dans Z/12Z le seul élément nilpotent est 6 ...
dans Z/24Z les éléments nilpotents sont 6 et 12 ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
-
Ncdk
- Membre Rationnel
- Messages: 758
- Enregistré le: 30 Mar 2014, 20:10
-
par Ncdk » 04 Oct 2015, 18:34
D'ailleurs pour n premiers, il n'y a pas d'éléments nilpotents non ?
-
MouLou
- Membre Rationnel
- Messages: 578
- Enregistré le: 17 Sep 2015, 11:00
-
par MouLou » 04 Oct 2015, 23:16
C'est exact. ce que veut te faire comprendre Zygomatique, c'est: quelle est la décomposition en facteur premier de 12? de 6? vois tu un point commun entre les 2? peux tu généraliser?
-
Ncdk
- Membre Rationnel
- Messages: 758
- Enregistré le: 30 Mar 2014, 20:10
-
par Ncdk » 05 Oct 2015, 19:32
Oui je vois, que 12 c'est bien
Qui est bien la décomposition en produit de facteurs premiers.
Mais le 6 je le vois seulement car c'est le PPCM de 2 et 3.
Mais je ne sais pas si c'est exact, ou s'il y a quelque chose de plus subtil à trouver.
EDIT : Pour moi j'avais pensé à dire que 2 divise 12 et 3 divise 12, donc du coup comme c'est des nombres premiers 2*3 divise 12. Propriété que j'avais oublié :mur:
-
MouLou
- Membre Rationnel
- Messages: 578
- Enregistré le: 17 Sep 2015, 11:00
-
par MouLou » 06 Oct 2015, 00:26
Je pense que tu as compris mais à te lire j'arrive pas à en être persuadé. Donc je vais te demander de me donner un nilpotent de
, et même tous en fait.
Edit: En fait tu dis PPCM, mais PPCM de quoi? le PPCM de quoi prendrais tu si tu avais affaire à un entier n quelquonque? Et d'une manière générale, oui c'est un poil plus subtil que le PPCM
-
Ncdk
- Membre Rationnel
- Messages: 758
- Enregistré le: 30 Mar 2014, 20:10
-
par Ncdk » 06 Oct 2015, 08:38
Ce que je pensais en parlant de PPCM c'était de faire le PPCM des facteurs premiers, c'est-à-dire de chaque facteurs premiers.
Mais je sais pas si réellement on les aurait tous (les éléments nilpotents).
EDIT : Comme tu as dis j'ai pas totalement compris la chose, faudra déjà que je sache trouver les éléments nilpotents de Z/nZ ou n est un entier, avant de regarder le cas général, car je ne vois pas le fonctionnement de la chose x)
-
Robot
par Robot » 06 Oct 2015, 09:08
L'image de l'entier a dans Z/nZ est un nilpotent si et seulement si a est divisible par tous les diviseurs premiers de n, autrement dit si et seulement si a est divisible par le produit des diviseurs premiers de n.
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 34 invités