Nilpotence et projecteur

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,


J'essaye de faire un exercice, mais je suis bloqué et je n'arrive pas à trouver d'idée pour avancer.

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Soit [ex]E[/tex] un K-ev de dimension n
Soit un endomorphisme de E nilpotent d'indice m

Soit p un projecteur de E tel que

Je dois montrer que


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La seule idée qui me vient à l'esprit c'est d’essayer de montrer que u et p commutent, j'ai essayé entre autres : d'utiliser le fait que Ker(p) et Im(p) sont supplémentaires dans E ; d'écrire les matrices de p et de u dans une base adaptée à Ker(p)+Im(p)=E ...
Je n'ai pas réussi à aboutir du coup je me demande, si c'est possible de montrer que u et p commutent


Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Ben314]

Ca doit pouvoir se faire "à la main" : si p est un projecteur, il existe une base dans laquelle la matrice de p est de la forme où .
L'hypothèse et te donne des infos sur la tête de la matrice de dans cette même base et il me semble que ça suffit pour montrer le résultat (donc que "u nilpotente" n'est pas utile pour le moment)

P.S. Par contre tu n'arrivera pas a montrer que u et p commutent vu que... ce n'est pas forcément vrai...

[jonses]

Merci !

C'est vrai qu'à la main ça se fait très bien en fait !

[Ben314]

En fait, ça s'écrit aussi trés simplement en restant "théorique" (donc y compris en dimension infinie).
Si alors, pour tout , on a
car

Donc et cela permet de montrer la relation demandée (par récurrence bien sûr)