Nature d'une série
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jonses
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par jonses » 29 Mai 2014, 17:06
Bonjour,
J'essaye de déterminer la nature de la série de somme partielle :
^n}{\ln(n +(-1)^n)})
Je n'arrive pas à trouver d'idées. Rien ne me vient à l'esprit et ça fait depuis un bon moment.
La seule chose à laquelle j'ai pensé, c'est de m'intéresser à
)
et à
)
qui ne sont malheureusement pas adjacentes.
Mais j'ai quand même essayé de donner une autre expression sans
^n)
de
et
et je trouve ça :
pour tout n>2
}\; -\; \sum_{p=1}^{n-1} \frac{1}{\ln(2p)})
et
}\; -\; \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{\ln(2p)})
Mais à part ça, je n'arrive à rien de plus.
Si quelqu'un peut m'aider svp.
je vous remercie d'avance pour vos réponses
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zygomatique
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par zygomatique » 29 Mai 2014, 17:30
salut
il n'y a pas de k dans ta somme ?
série alternée ? ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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Doraki
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par Doraki » 29 Mai 2014, 17:33
Tu peux pas montrer qu'elles sont décroissantes ?
Il y a une série qui converge trivialement ( -1/ln(2) + 1/ln(3) - 1/ln(4) + ....)
Et c'est trivial de montrer que la différence entre ça et ta série tend vers 0.
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zygomatique
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par zygomatique » 29 Mai 2014, 17:52
 = \sum_{p = 1}^n \dfrac {ln(2p) - ln(2p + 1)}{ln(2p)ln(2p + 1)})
or d'après le TAF
 - ln(2p) = \frac 1 x)
donc
ln(2p)ln(2p + 1)} \le -S_{2n + 1} \le \sum_1^n \dfrac {1}{2pln(2p)ln(2p + 1)})
1/ les extrêmes convergent-ils ?
2/ si oui encadrer S(2k) par des S(2i + 1)
3/ conclure
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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jonses
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par jonses » 29 Mai 2014, 17:55
Doraki a écrit:Tu peux pas montrer qu'elles sont décroissantes ?
Si je l'ai remarqué, mais je voyais pas où ça pouvait me mener
Doraki a écrit:Il y a une série qui converge trivialement ( -1/ln(2) + 1/ln(3) - 1/ln(4) + ....)
Et c'est trivial de montrer que la différence entre ça et ta série tend vers 0.
J'aurai jamais pensé à ça ! Bien vu !
Comment fais-tu pour voir ce genre de chose ?
zygomatique a écrit:or d'après le TAF
donc
J'ai aussi pensé à encadrer la somme S2n+1 (en vain parce que je le faisais mal), mais le coup du TAF !
Merci beaucoup !
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zygomatique
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par zygomatique » 29 Mai 2014, 18:04
de rien .... même si écrire effectivement les deux séries m'aurait permis de conclure immédiatement comme Doraki ....
:hum:
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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Doraki
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par Doraki » 29 Mai 2014, 18:31
Ben quand on regarde ta série on pense tout de suite à une série alternée.
Là il se trouve que c'en est pas une parceque les termes ne sont pas exactement dans l'ordre qu'il faudrait.
Tu connais ptetre le théorème qui dit que si t'as une suite de termes qui tend vers 0 et dont la série ne converge pas absolument alors on peut la réordonner pour avoir n'importe quel comportement à l'infini.
Ici tu peux voir qu'un "petit" réordonnement (chaque terme est déplacé d'une distance <= C pour une constante C) ça ne change pas la nature de la série.
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jonses
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par jonses » 29 Mai 2014, 18:50
Doraki a écrit:Tu connais ptetre le théorème qui dit que si t'as une suite de termes qui tend vers 0 et dont la série ne converge pas absolument alors on peut la réordonner pour avoir n'importe quel comportement à l'infini.
Je connais pas ce théorème :hein:
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deltab
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par deltab » 30 Mai 2014, 22:18
Bonsoir.
Doraki a écrit:Ici tu peux voir qu'un "petit" réordonnement (chaque terme est déplacé d'une distance <= C pour une constante C) ça ne change pas la nature de la série.
Peut être ce que tu proposes marche mais on devra montrer que les 2 séries sont de même nature et que l'étude de la nature de la 2ème série est relativement aisée.
Ici le terme général de la série donnée tend vers 0. Le regroupent de termes deux à deux (à partir de 2ème) ne change ni la nature de série ni la somme de la série dans le cas de convergence.
^n}{\ln(n+(-1)^n)},)
pour
.
}+\dfrac{1}{\ln(2n+3)}=\dfrac{\ln(2n+3)-\ln(2n)}{\ln(2n)\ln(2n+3)} =\dfrac{\ln(1+\frac{3}{2n})}{\ln(2n+1)\ln(2n+3)})
}{\ln^2(2n+1)} \sim \dfrac{3}{(2n)\ln^2(2n+1)}\le \dfrac{3}{2n\ln^2(n)})
On peut maintenant soit conclure directement si l'on connait les séries de Bertrand soit comparer la série
})
avec une intégrale impropre
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Archytas
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par Archytas » 31 Mai 2014, 01:31
Doraki a écrit:Tu connais ptetre le théorème qui dit que si t'as une suite de termes qui tend vers 0 et dont la série ne converge pas absolument alors on peut la réordonner pour avoir n'importe quel comportement à l'infini..
Il a un nom ? Vous auriez un lien ?
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deltab
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par deltab » 31 Mai 2014, 05:54
Bonjour.
Archytas a écrit:Il a un nom ? Vous auriez un lien ?
C'est le théorème de réarrangement de Riemann.
Voir ICI.
On peut en modifiant légèrement la démonstration donnée dans le
lien permuter les termes pour obtenir une série divergente.
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Sourire_banane
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par Sourire_banane » 31 Mai 2014, 12:43
Salut,
On pourrait pas faire un dev asymptotique ?
Genre je trouve (sauf erreur, ce qui est probable) :
^n}{\ln\(n+(-1)^n\)}=\frac{(-1)^n}{\ln n}-\frac{1}{n(\ln n)^2}+O \(\frac{1}{n^2(\ln n)^2}\))
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