Multiplicateurs de Lagrange

[lapras]

Bonjour,
est ce que quelqun pourrait m'expliquer simplement les multiplicateurs de lagrange, d'où ca vient, comment ca marche, éventuellement un exemple ?
La page de wiki me fait un peu peur...
lapras :happy2:

[MathMoiCa]

Salut,

Meuh non, il ne faut pas avoir peur de la page Wiki ! Ok... Elle n'est pas du tout jolie à voir quand on veut une introduction...

Celle-ci (http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./e/extremalies.html) me paraît déjà plus potable...

Alors il faut que tu retiennes que le(s) contrainte(s) seront sous la forme g(x,y,...)=0.

Pour essayer de visualiser, peut-être qu'il n'y a rien de mieux qu'un exemple ^^
Suppose que tu veux minimiser la distance entre un point fixé (a,b) et une droite.
Tu sais que la distance (euclidienne) d'un point à un autre point est
Bon pour simplifier, on peut prendre cette distance au carré. Ce qui ne pose pas de problème car ce qui minimise la racine carrée minimise aussi le carré. Bref.

Ceci sera ta fonction à minimiser,

Maintenant, ça n'a aucun sens de minimiser la distance entre deux points sur tout le plan ! Donc c'est là qu'intervient la contrainte.
On veut la distance d'un point à une droite. Cette droite va constituer la "contrainte".
À savoir que, d'accord on cherche la distance minimale entre un point (a,b) et un autre point, mais cet autre point doit se trouver sur la droite (d'équation mx+ny+c=0)
g(x,y)=mx+ny+c

Donc on veut minimiser f(x,y) sous la contrainte g(x,y)=0.

Et là, on applique les formules faisant intervenir le multiplicateur de Lagrange. En gros, il faut résoudre des systèmes d'équations où on cherche les valeurs de (x,y) qui annulent des dérivées partielles.
Mais je suis pas très douée pour expliquer tout ça...

Bien sûr, les contraintes peuvent être plus complexes, genre la contrainte est qu'on se place dans un plan, ou dans une sphère de dimension n, ou ce que tu veux. Du moment que ça se traduit en équations, ça peut se résoudre avec les multiplicateurs de Lagrange.

Bref, finissons sur une note positive, voici des notes de cours qui peuvent peut-être t'éclairer sur la question. C'est accessible à des gens qui débutent dans les fonctions à plusieurs variables et il faut, au préalable, savoir ce qu'est le gradient d'une fonction, .

http://www.edu.upmc.fr/maths/L2/lm216/2008-2009/LM216-cours-2008-2009-20090128.pdf (page 23)

J'espère que ça t'aide... Sinon, je t'offre un petit up :id:


M.

[Dominique Lefebvre]

C'est accessible à des gens qui débutent dans les fonctions à plusieurs variables et il faut, au préalable, savoir ce qu'est le gradient d'une fonction, .

Bonsoir,
Ce n'est pas un gradient mais l'opérateur vectoriel nabla (ou "del" pour les anglo-saxons") !
C'est seulement quand il opére par produit simple sur un champ scalaire qu'il devient l'opérateur grad.

Et c'est très différent, car il peut aussi opérer par poduit scalaire sur un champ vectoriel et donner ainsi l'opérateur div.
Ou par produit vectoriel sur un champ vectoriel et donner l'opérateur rot.

Donc ne pas confondre l'opérateur et l'opérateur grad. Merci.

[MathMoiCa]

euh... je ne connais pas les autres, mais désolée de la méprise ^^


M.

[Maxmau]

Bonjour
Je reprends les notations de Mathmoica
La droite (plus généralement la courbe ) g(x,y) = 0 admet une représentation paramétrique :
x = x(t) , y = y(t)
Le problème revient donc à minimiser ;)(t) = f(x(t),y(t))
La condition ;)’(t) = 0 se traduit par grad(f) proportionnel à grad(g)
Le cas général se justifie de façon analogue