Moyenne de Cesaro

[daffodil]

Bonjour,

Soit une suite de réels et soit .
On doit montrer que, si converge, alors, nécessairement, converge vers 0.
Pour cela, on dit que est équivalent à et que donc est équivalent à . Or, si converge, tend vers 0 et donc tend vers 0.
Je n'avais pas pensé de moi-même à écrire que est équivalent à .
J'avais donc tenté d'écrire "brutalement" .
En toute logique, comme est équivalent à , on devrait donc avoir qui tend vers 0. Sauf que, ça ne marche pas (par exemple, si on prend , on a ...)
Du coup, je ne comprends pas où est mon erreur...
Comment finir l'exercice en poursuivant le raisonnement comme je l'avais commencé (et sans utiliser l'astuce de l'équivalent) ?
Merci par avance.

[GaBuZoMeu]

on dit que est équivalent à et que donc est équivalent à .

Telle quel, ce raisonnement est faux : le fait que soit équivalent à quand tend vers l'infini n'entraîne pas que soit équivalent à (autrement dit, les équivalents ne marchent pas bien pour l'addition).

[daffodil]

Effectivement, en plus, on avait déjà vu un contre-exemple là-dessus...
Mais alors du coup, le fait que soit équivalent à reste vrai quand même ou pas ?
Et si oui, comment voir cela ?

[arnaud32]

si ave
alors d'une part
et d'autre part

pour ton exemple avec , ne converge pas

[PierreMeri]

Bonjour,

Nouveau sur ce forum, je profite de ce récent fil sur la moyenne de Césaro pour une question sur ce sujet.

Les deux premières questions de mon exercice consistaient à démontrer le théorème de Césaro (=> fait), et la dernière question est la suivante (je bloque) :

Soit , pour strictement positif, une suite de nombres réels strictement positifs telle que converge. Montrer que la suite converge vers la même limite.

Auriez-vous une piste/indication pour démarrer la résolution ? J'imagine qu'il faut utiliser le résultat démontré dans les questions 1 et 2, mais je sèche ...

Merci beaucoup !!

[Tuvasbien]

Utilise la question précédente avec

[PierreMeri]

Ah oui ! Merci beaucoup Tuvasbien, c'est réglé