Montrer qu'une fonction est négligeable devant une autre au voisinage de a

[Robolo]

Bonjour,
Je me demandais quelles étaient les différentes méthodes pour montrer qu'une fonction est négligeable devant une autre au voisinage d'un point ou de l'infini.
La méthode, f=o(g) en l'infini, où il faut montrer que lim g/f=0 quand x tend vers a est déconseillée par nos professeurs et je ne peux pas vraiment l'appliquer en controle...
Par ailleurs, on peut aussi montrer qu'il existe une fonction epsilon tel que g=;)*f avec lim ;) = 0 quand x tend vers a, mais comment trouver une telle fonction dans le cas où on veut montrer que
ln(x)=o(x^r) au voisinage de l'infini avec x>0 et r>0 ? Existe-t-il ;)(x) tel que ln(x)=;)(x)*x^r et lim ;)(x) = 0 ?
Je ne vois pas comment faire, merci pour votre aide.

EDIT : Une question préliminaire était de montrer que pour tout r>0 et x>0 (1/r)x^r > ln(x). Mais je ne vois pas comment l'exploiter sachant que 1/r est une constante...

[paquito]

Tu poses; tu as; donc pourtu as et pour tu as , donc d atteint son minimum pour, minimum qui vaut
, d'où le résultat. Après tes questions sont peu claires;peux tu préciser.

[Robolo]

Oui j'ai bien compris qu'il fallait faire une étude de fonction pour la première question, ce n'est pas un problème. La question suivante est :
Déduire ln(x)=o(x^r) en + l'infini pour tout r > 0
Comment le montrer ? Merci de prendre en compte ce qui a été dit dans mon message initial.

[paquito]

Oui j'ai bien compris qu'il fallait faire une étude de fonction pour la première question, ce n'est pas un problème. La question suivante est :
Déduire ln(x)=o(x^r) en + l'infini pour tout r > 0
Comment le montrer ? Merci de prendre en compte ce qui a été dit dans mon message initial.

On a assez facilement;avec de la à avoir , alors que , il y a visiblement un problème; revois ton énoncé, il est complètement foireux!!! En fait le but du jeu est de prouver que est négligeable en par rapport à toute fonction puissance avec ; donc décroit pour.

Pour tout r>0 on a: décroissante à partir de et minorée par 0 à un limite finie que l'on trouve en écrivant , on a bien pour tout .

Si tu poses tu obtiens ce que tu veux.

[Robolo]

C'est bien ce qu'il y a marqué, déduire que ln(x)=o(x^r) en plus l'infini pour tout r>0 je ne vois pas ce qu'il y a de foireux là-dedans ?
C'est bien ce que vous avez écrit en disant que "En fait le but du jeu est de prouver que ln(x) est négligeable en +oo par rapport à toute fonction puissance x->x^r avec r>0"
Je comprends le but du jeu, mais comment y parvenir ?

[zygomatique]

salut

si

donc il me semble que Paquito a fait une erreur ici

or

donc f est croissante sur l'intervalle ]0, s] et décroissante sur l'intervalle [s, +oo[ et admet donc un maximum en s qui vaut

donc pour on a