Montrer qu'un triangle est équilatéral...

[Tomastro]

Tout d'abord bonjour à tous. Je suis des études à distance et n'ayant pas fait le cursus S, j'assimile tant bien que mal les bases des nombres complexe et leurs joyeux lurons!

Ici, j'ai A, B, C trois points distincts du plan complexe dont les affixes sont respectivement a, b et c.

Voilà ce que me demande l'exo:

a) On suppose que a+jb+j²c = 0 ; montrer que ABC est un triangle equilateral. (j et j² sont les racines cubiques complexes de 1, plus precisement j = (-1+i;)3)/2. Et... ben j'ai pas d'idée ou je ne sais pas comment le prouver...

J'ai maté cette page: http://fr.wikiversity.org/wiki/Nombr...le_et_argument

Merci de prêter attention à mon cas! :happy2:

[Ben314]

Il me semble que le plus "élémentaire" (mais le plus calculatoire)
est de chercher l'affixe du centre de gravité G puis celle des vecteurs GA, GB et GC et de vérifier que l'on passe de l'un à l'autre par une rotation d'angle +/- 2pi/3.
Il y a d'autre méthodes plus "jolies"...

P.S. Le plus simple est de raisonner en se disant, pour B et C fixés, comment construire A de façon à ce que ABC soit équilatéral (direct ou indirect)

[Nightmare]

Salut,

il te suffit de montrer que vect(BC) est l'image de vect(BA) par la rotation vectorielle d'angle -pi/3 ce qui équivaut à (c-b)=j(a-b) (j=exp(-ipi/3))

[Nightmare]

Oups, c'est bien sûr (c-b)=-j(a-b) et j=-exp(-ipi/3)!

[Tomastro]

Merci Ben314 et Nightmare! Je vois ou vous souhaitez en venir. Malheureusement, j'ai beau chercher dans mon cours, je ne vois pas du tout comment je vais pouvoir raisonner :hum: Je suis dans le chapître des "similitudes". Je dois être bien placé? :cry:

[Sa Majesté]

Salut

Tu as a+jb+j²c = 0 et 1+j+j²=0 donc tu remplaces j² par -1-j
et tu trouves qqch qui ressemble à une formule de similitude (ça revient à ce qu'à dit Nightmare en fait)

[Tomastro]

Je vais mettre tout ca bout à bout! Merci de prendre de votre temps pour moi :triste: