Montrer que deux sev sont supplémentaire dans un espace vectoriel E

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Choupie54
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Montrer que deux sev sont supplémentaire dans un espace vectoriel E

par Choupie54 » 12 Nov 2011, 22:34

Bonsoir à tous, je suis bloquée en plein milieu d'un exercice de dm concernant les espaces vectoriels, je dois montrer que F et G deux sous-espaces vectoriels de E sont supplémentaires dans E. Voici l'énoncé :

1. On dira que F et G sont supplémentaires dans E si et seulement si :
F+G=E (je l'ai fait)
et F inter G = l'espace réduit à zéro

Si E= R^3, si F={(x,y,z)/x-y+2z}, si G={(x,y,z)/x=2y=z}
Montrer que F et G sont supplémentaires dans E.

J'ai réussi à trouver que F+G= E mais je suis bloquée pour prouver que E inter G= espace réduit à zéro.

2. On se place toujours dans E=R^3
F={(x,y,z)/x+y+az=0}
G={(x,y,z)/ x+y+z=0 et 2x-3y+4z=0}
Donner une base ainsi que la dimension de F puis de G
Déterminer a pour que l'on ait F et G supplémentaires dans E ( écrit avec la notation qui correspond à cette phrase)
Lorsque ce n'est pas le cas, préciser F+G.

Je n'ai pas encore traiter cette deuxième question mais je vais tenter de la faire en attendant une réponse de votre part. Pouvez-vous me donner des explications et indications pour que je puisse réaliser ces deux questions. Merci d'avance.

Choupie54.



GagaMaths
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par GagaMaths » 12 Nov 2011, 22:37

et bien, que dire d'un élement u=(x,y,z) dans R^3 qui se trouve dans F et dans G ? que vérifie-t-il ?

Choupie54
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par Choupie54 » 12 Nov 2011, 22:52

Il permet de trouver une équation cartésienne non ?
Pour le début de la question 2 je pense savoir trouver, c'est plus pour déterminer a que j'aurai des difficultés mais j'aimerais vraiment avoir des explications pour montrer que F inter G= espace réduit à zéro.

ThomasM
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par ThomasM » 12 Nov 2011, 23:04

Slt,
pour montrer que ton intersection est vide tu fait :
soit (x,y,z) appartenant a F inter G
alors x appartient a G donc x=2y=z, et donc 0=x-y+2z=(2y)-y+2(2y)=5y
donc y=0, et ainsi x=2y=z=0
finalement F inter G = {0}
c'est bon?

GagaMaths
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par GagaMaths » 12 Nov 2011, 23:40

oui, mais donner la réponse ne l'avance pas beaucoup, en plus c'est une notion importante et facile !...

Choupie54
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par Choupie54 » 13 Nov 2011, 16:39

GagaMaths a raison, mais j'ai compris ce qu'il fallait faire et je saurais le reproduire ! Merci beaucoup à vous deux, merci pour vos explications :)

Choupie54
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par Choupie54 » 13 Nov 2011, 18:06

Pouvez-vous m'aider pour la deuxième question, quand il faut déterminer a s'il-vous plaît ? (Juste quelques explications et des pistes pour y répondre) j'aurais pensé refaire la même chose que pour la première mais je trouve celà un peu long et je suis bloquée. Peut-être y-a-t'il une méthode plus rapide ? Plus simple ?

J'attends vos réponses, merci d'avance ! :)

ThomasM
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par ThomasM » 13 Nov 2011, 18:24

Lorsque tu as l'equation d'un plan ax+by-cz+d=0 .
Est ce que tu connais un vecteur orthogonal a ce plan?
Si oui, trouve ensuite un vecteur orthogonal a celui que tu viens de trouver; et tu trouvera une base de F !
Pour G, tu as un systeme de 2 equations a 3 inconnues, essaie de le simplifier au maximum, tu verra, ensuite tu aura des conditions sur x y et z, dont tu trouvera 1 ou 2 vecteurs directeurs ( en prenant des valeures particulieres)
Pour la dimension, il suffit de compter le nbr d'element de la base.
C'est a peu pres clair?

Choupie54
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par Choupie54 » 13 Nov 2011, 19:25

J'ai déjà trouvé la base et la dimension de chacun de ces sev, mais je suis bloquée pour déterminer a :
"Déterminer a pour que l'on ait F et G supplémentaires dans E ( écrit avec la notation qui correspond à cette phrase)
Lorsque ce n'est pas le cas, préciser F+G."

 

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