Espace vectoriel supplémentaire

par **salamine** » 05 Sep 2015, 19:44

Bonjour à tous

Soient F,G,F',G' des sev de E (un Kev) tels que E=F;)G=F';)G' et F' inclus F . Montrer que E = F';)G

(F inter G') .

J'ai montré que la somme était directe mais je ne vois pas comment partir pour montrer que c'est supplémentaire (j'ai essayé en me donnant un élément de E pour le décomposer dans les sev souhaités mais je n'y arrive pas)
J'aurais besoin d'un coup de main merci beaucoup

par **Robot** » 05 Sep 2015, 21:03

Si E est de dimension finie, tu peux raisonner avec les dimensions. Mais ce n'est peut-être pas supposé.

Plus simple : étant donné

, tu peux partir avec

où

et

. Ensuite, décomposer

selon

.

par **salamine** » 05 Sep 2015, 21:16

Robot a écrit:Si E est de dimension finie, tu peux raisonner avec les dimensions. Mais ce n'est peut-être pas supposé.

Plus simple : étant donné , tu peux partir avec où et . Ensuite, décomposer selon .

Oui ça n'est pas supposé.

Il faudrait que j'arrive à montrer que f soit dans

donc il faudrait que

mais je n'arrive pas à montrer que f se décompose en un élément de F' et de

. J'ai montrer que l'intersection est réduite à 0

par **Robot** » 05 Sep 2015, 21:25

salamine a écrit:Oui ça n'est pas supposé.

Il faudrait que j'arrive à montrer que f soit dans donc il faudrait que mais je n'arrive pas à montrer que f se décompose en un élément de F' et de . J'ai montrer que l'intersection est réduite à 0

Je t'ai dit : ensuite, décomposer

selon

. Que peux-tu dire de la composante de

dans

? (Ne pas oublier que

est contenu dans

).

J'ai un petit doute : quand tu dis avoir montré que la somme est directe, qu'as-tu fait exactement ?

par **salamine** » 05 Sep 2015, 21:47

Robot a écrit:Je t'ai dit : ensuite, décomposer selon . Que peux-tu dire de la composante de dans ? (Ne pas oublier que est contenu dans ).

J'ai un petit doute : quand tu dis avoir montré que la somme est directe, qu'as-tu fait exactement ?

J'ai pris x, y , z de F', G, F inter G' tel que x+y+z=0 et j'ai utilisé E=F;)G=F';)G' (les intersections sont nulles) donc j'obtiens x=y=z=0

Je ne vois pas trop comment décomposer f selon F' et G' je pense qu'il faut exploiter le fait que l'intersection est réduite à 0

par **Robot** » 05 Sep 2015, 22:03

salamine a écrit:Je ne vois pas trop comment décomposer f selon F' et G'

M'enfin voyons ????
N'importe quel vecteur de E se décompose suivant F' et G', puisqu'ils sont supplémentaires !

par **salamine** » 05 Sep 2015, 22:10

Robot a écrit:M'enfin voyons ????
N'importe quel vecteur de E se décompose suivant F' et G', puisqu'ils sont supplémentaires !

Ah oui f appartient à E donc il se décompose suivant F' et G' :mur:

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