Montrer que deux matrices sont semblables

[zork]

tu peux montrer qu'il existe une matrice P inversible tel que A=P^(-1)BP par exemple

[zork]

quelles sont tes matrices A et B?

[Supernova]

Qu'elle ont la même trace

[Skullkid]

Bonsoir, es-tu sûre que l'énoncé est "démontrer que les deux matrices sont semblables" ? Et pas quelque chose comme "déterminer si les deux matrices sont semblables" ?

[Luc]

Bonjour,

rappelons tout d'abord la définition : A et B sont semblables s'il existe une matrice inversible P telle que A=P^{-1}BP.
Ensuite, il existe un théorème très puissant qui donne une condition nécessaire et suffisante pour que A et B soient semblables : A et B sont semblables si et seulement si elles ont le même système d'invariants de similitude. Je ne rentrerai pas dans la définition détaillée de ces invariants (cela fait appel à la réduction de Frobenius).

Dans beaucoup de cas, avant d'utiliser ce théorème puissant et assez difficile de mise en œuvre, on peut se contenter d'utiliser des résultats plus faibles, qui portent sur la condition nécessaire. Ce sont des résultats du type "Si A et B sont semblables, alors A et B ont le même ...". Ces résultats sont souvent utilisés par contraposée pour montrer que deux matrices sont pas semblables.
En particulier, on a les résultats suivants :
- Si A et B sont semblables, elles ont même taille
- Si A et B sont semblables, elles ont même trace
- Si A et B sont semblables, elles ont même déterminant
- Si A et B sont semblables, elles ont mêmes valeurs propres
- Si A et B sont semblables, elles ont même rang
- Si A et B sont semblables, elles ont même polynôme caractéristique
- Si A et B sont semblables, elles ont même polynôme minimal

Ces quantités sont des invariants de similitudes, mais ne constituent pas un système complet d'invariants de similitude.
En pratique, on commence donc toujours par calculer ces quantités, en commençant par les plus simples (trace, déterminant). Dans ton exemple, il est facile de voir que les matrices A et B n'ont pas la même trace. Donc elles ne sont pas semblables.

Remarque : il est donc beaucoup plus facile de montrer que deux matrices ne sont pas semblables que le cas contraire. Si l'on veut montrer que deux matrices sont semblables, et qu'on a déjà vérifié qu'elles ont les mêmes invariants simples, soit on trouve une matrice P qui convient (calcul pas souvent possible à mener à bien), soit on utilise la réduction de Frobenius pour appliquer le gros théorème.