[L1]Montrer que si P=0,alors ses coefficients sont nuls.

[tham]

Bonjour,

Je suis confronté a un serieux probleme mathemathique(enfin serieux a mon echelle en tout cas^^):
Je n'arrive pas a montrer que les coefficients d'un polynome "infini" egal a 0 sont necessairement nuls.

J'arrive a montrer que le premier coefficient doit etre nul(dire que l'hypothese est vraie pour x=0),et apres je suis completement bloqué.
J'ai essayé de nombreuse pistes,et je suppose qu'il faut dire que l'equation est vraie pour 2 reels particuliers,puis resoudre le systeme d'equation ainsi crée,mais je ne trouve pas les reels en question...ou alors il faut une recurrence mais je ne la trouve pas non plus...
Pourriez-vous me donner une indication,une direction dans laquelle creuser,ou me dire au moins si cette demonstration est possible(parceque je commence serieusement a en douter)?Merci d'avance pour vos reponses.

[fatal_error]

Bonjour,


=> qqsoit n

[tham]

oui mais cela montre juste que le polynome dont tous les coefficient sont nuls est solution;comment montrer que c'est l'unique solution?

[Dyo]

Euh 2 polynômes sont égaux <=> leur coefficient de "même degré" sont égaux.

Donc on a bien l'unicité.

[tham]

Oui j'ai vu ca de nombreuse fois^^

Mais ce que je veux dire,c'est:est-ce que cette propriété est demontrable?

[Monsieur23]

Bonjour ;

Reviens à la définition des polynômes.
Un polynôme est une suite d'éléments du corps presque tous nuls.
Le polynôme nul est la suite nulle.

D'où le résultat par identification.

[Dyo]

Je sais pas si en L1 tu as déjà vu que formait une base de (générateur + libre car degrés échelonnés).

Tout polynôme de se décompose donc de manière unique dans cette base.

[tham]

Et bien en fait Dyo c'est exactement ca que je dois montrer^^

Monsieur23:que veut dire "presque tous nuls"?

[nuage]

Salut,
tu peux essayer d'évaluer un polynome de degré n sur les entiers de 0 à n.
On obtient un système linéaire à n+1 équations et n+1 inconnues( les coef de P).
Reste à vérifier qu'il est de rang n+1.

Euh 2 polynômes sont égaux leur coefficient de "même degré" sont égaux.

Donc on a bien l'unicité.

C'est une conséquence du résultat que veut démontrer tham.

[tham]

Sauf que la,le polynome est "infini"...puisque qu'il s'agit de montrer que {X^n| n € N} est libre.

[yos]

Non : la liberté d'une famille infinie, c'est : "pour toute sous-famille finie de c.l. nulle, les coefs sont nuls".

[ThSQ]

Je n'arrive pas a montrer que les coefficients d'un polynome "infini" egal a 0 sont necessairement nuls..

Déjà faut pas confondre Polynôme et fonction polynomiale.

Un polynôme par définition c'est une suite nulle partout sauf sur un nombre fini d'indice. La nullité d'un polynome est donc équivalente à la nullité de ses coefficients simplement par définition.

A ne pas confondre avec la fonction associée.
Dans Z/2Z[X] le polynome X²+X est non nul mais ne fournit que des valeurs nulles quand on le prend comme fonction polynomiale.

[tham]

ThSQ:

Tu as raison,mais la je crois qu'il s'agit des fonctions polynomiales dans R (car l'ensemble est inclus dans R[X])

yos:

Tu es sur de ca?Ca clariefirait grandement le probleme

[tize]

yos:
Tu es sur de ca?Ca clariefirait grandement le probleme

Bonjour,
regarde la deuxième définition de cette page

[ThSQ]

Tu es sur de ca?Ca clariefirait grandement le probleme

Bien sûr. Quel sens pourrait-on donner à une somme infinie dans le cas général de toute façon ?

[tham]

Oui ce n'est pas faux...

Mais bon finalement ca ne m'aide pas tant que ca:
Parceque en fait je me ramene ,en factorisant pas la plus petite puissance de x, à:
X^p*(Ap+...+An*x^(n-p))=0
La je suis revenu au cas initial ( demontrer Ao=0),mais je ne peux pas appliquer la meme methode,car si on prend X=0,on n'a pas l'implication Ap+...+An*x^(n-p)=0.

Tout mon probleme est donc finalement de trouver une autre facon de montrer Ao=0 que celle consistant a dire que l'egalité est vraie pour x=0.

[Monsieur23]

Monsieur23:que veut dire "presque tous nuls"?

Désolé, je n'avais pas vu cette réponse.

"Presque tous nuls", ça veut dire qu'il n'y en a qu'un nombre fini qui sont non nuls ( comme l'a dit ThSQ ).

[tham]

Ah d'accord,merci de cet eclaircissement

[busard_des_roseaux]

bjr,
comme l'a écrit ThsQ, on ne confond pas polynôme à une indéterminée (suite de coefficients
dans un anneau A ou un corps K, tous nuls sauf un nombre fini) et fonction polynomiale

1) Si K est un corps infini, on peut identifier polynomes et fonctions polynomiales.
2) Dans , la formule de taylor est exacte pour les fonctions polynômiales:

ce qui prouve l'unicité des coefficients.
3) Si K est un corps commutatif, on peut faire la division euclidienne
des polynômes.La division d'un polynome P par le monôme (X-a)
donne un reste constant.
D'où P(X)=(X-a)Q(X)+R(X)
P(a)=R(a).

Un polynôme de degré n qui s'annule en (n+1) points est donc le polynôme nul.Ce résultat est basé sur l'unicité du degré d'un polynôme.
Le résultat cesse d'être vrai si K n'est pas commutatif ou si c'est un anneau.


4) sur le corps non commutatif
(infini) des quaternions, le polynôme de degré 2,
a une infinité de racines, me semble - t -il.

5) Si le corps K est fini, il y a des fonctions polynomiales nulles
qui proviennent de polynôme non nuls.

Maintenant, si les coefficients sont dans un anneau ??????