Montrer qu'un ensemble est ouvert - L2

[Collap35]

Bonjour,
Je rencontre un petit problème dans la résolution de l'exercice suivant :

Montrer en utilisant la définition que D={(x, y) / (x ;) 1)^2 + y^2 < 4} est ouvert.

Voici ce que j'ai fait pour l'instant :
Soit a=(a1,a2) dans D. On cherche r tel que B(a,r) (boule centrée en a de rayon r) soit contenue dans D. Prenons r=min{ 3+a1 , a1+1 , 2-a1 , a1+2 }. Montrons que si x=(x1,x2) appartient à B(a,r) alors x appartient à D.
On a |x1-a1|< ||x-a||< 3-a1 , a1+1
et |x2-a2|< ||x-a||< 2-a2 , a2+2
D'où on tire que -1
Cependant je voudrais obtenir plus précisément que (x1-1)^2+y^2<4 afin de montrer que x est contenu dans le disque D. Dois-je changer mon choix de r ? Pourriez-vous me donner une piste pour avancer ?

Merci d'avance :)

[SaintAmand]

Bonjour,

Je n'ai pas vraiment lu ta solution mais elle me parait bien compliquée.

Prends M un point du disque D. La boule de centre M et de rayon (4-OM)/2 (O l'origine) est par construction incluse dans D.

[Collap35]

En fait notre professeur a fait une démonstration semblable à la mienne pour montrer que ]O, +oo[^2 est un ensemble ouvert, et il souhaite que nous utilisions la même méthode ici. Sauf que ça marche nettement moins bien pour moi ... ^^

[Doraki]

Juste pour être sur, c'est quoi ta distance pour définir B(a,r) ?
d((a1,a2),(x1,x2)) = ?

Est-ce que t'as fait un dessin ?