Montrer la convergence d'une suite

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de montrer qu'une certaine suite converge, mais je patauge dans des calculs qui n'aboutissent pas.


---

Je dois montrer que la suite définie par :




converge

---

J'ai essayé de calculer brutalement et de déterminer son signe, mais j'ai abandonné (les calculs deviennent de plus en plus inextricables)

J'ai ensuite essayé de trouver un encadrement de , et après quelques calcul à l'aide d'intégrale, j'aboutis à :

pour tout n>3





Mais ça me permet pas de conclure non plus...

Du coup, je ne vois pas comment aboutir au résultat, et jusque-là je ne trouve pas d'autre idée
Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Manny06]

Bonjour,

J'essaye de montrer qu'une certaine suite converge, mais je patauge dans des calculs qui n'aboutissent pas.


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Je dois montrer que la suite définie par :




converge
---

J'ai essayé de calculer brutalement et de déterminer son signe, mais j'ai abandonné (les calculs deviennent de plus en plus inextricables)

J'ai ensuite essayé de trouver un encadrement de , et après quelques calcul à l'aide d'intégrale, j'aboutis à :

pour tout n>3





Mais ça me permet pas de conclure non plus...

Du coup, je ne vois pas comment aboutir au résultat, et jusque-là je ne trouve pas d'autre idée
Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

y a-t-il d'autres indications dans l'énoncé ?

[arnaud32]

sais tu calculer la derivee de ? et ?

[DamX]

Bonjour,

il n'y a pas une erreur dans l'énoncé ? parce que cette série diverge, d'ailleurs ton encadrement le montre clairement.

ce ne serait pas plutôt ?

Damien

[Joker62]

Hello,

Logiquement en posant v_n = u_(n+1) - un on peut faire un développement asymptotique de v_n
en manipulant les v_n

On regarde si la série des v_n converge ou pas et on utilise la sommation des équivalents pour aboutir.

Edit : En complément de DamX : ça serait plus logique. Surtout qu'une primitive de 1/(xln(x)) est donnée par ln(ln(x)) sur [2;+;)[

[arnaud32]

t'es sure que ca converge?

[arnaud32]

la premiere moitier de ton u_n est equivalent a ln(n)² si je ne m'abuse

[Ben314]

Salut,
Perso, vu que est décroissante sur [2,oo[, j'aurais dit que, pour tout ,

Ce qui donne un encadrement simple de permettant sans doute de montrer que la suite est de Cauchy.

[jonses]

Merci pour vos réponses !

Je pense aussi qu'il y a une erreur d'énoncé, vu que

est équivalente à (comme l'a fait remarqué arnaud32), et donc si convergeait, on montrerait que serait aussi équivalent à

or quand j'ai utilisé geogbra pour voir si le rapport de par tendait vers 1, et bah ça semble pas être le cas.

Du coup, une erreur d'énoncé est tout à fait possible

Salut,
Perso, vu que est décroissante sur [2,oo[, j'aurais dit que, pour tout ,

Ce qui donne un encadrement simple de permettant sans doute de montrer que la suite est de Cauchy.

Je vais essayer sur cette voie, mais j'ai pas voulu essayer de montrer si la suite est de Cauchy, parce que les suites de Cauchy ne sont plus au programme en prépa (bon j'avais quand même vu en exo l'année dernière comment montrer qu'une suite de complexe de cauchy est convergente, mais c'est pas allé plus loin...)