Montrer la convergence d'une suite a partir de suites extraite

[altaiir95]

Bonjour,

Comment puis je faire pour montrer de manière général la convergence d'une suite (Un) si ses suites extraite converge ?

Par exemple dans cet exercice :


Soit (Un) une suite numérique, on suppose que les suites extraite (U2n), (U2n+1), (U3n) sont convergente, montrer que la suite (Un) converge.

A t-on le même résultat si (U3n+2), (U5n+3) et (U7n+4)sont convergente ?


Merci

[Ben314]

A t-on le même résultat si (U3n+2), (U5n+3) et (U7n+4)sont convergente ?

Non, surement pas vu qu'il existe des entiers N aussi grand que tu veut qui ne sont pas de la forme 3n+2 ni 5n+3 ni 7n+4 dunc le U_N correspondant ne fait parti d'aucune des 3 sous-suites et ça signifie que tu n'as aucun contrôle sur ces U_N là.

Pour l'exo. de base, on va pouvoir dire des trucs vu que tout entier N est de la forme 2n ou bien 2n+1 ce qui signifie que, si la suite U_{2n} tend vers L et la suite U_{2n+1} tend vers L', pour que la suite U_n tende vers quelque chose, il faut et il suffit que L=L'.

[altaiir95]

Non, surement pas vu qu'il existe des entiers N aussi grand que tu veut qui ne sont pas de la forme 3n+2 ni 5n+3 ni 7n+4 dunc le U_N correspondant ne fait parti d'aucune des 3 sous-suites et ça signifie que tu n'as aucun contrôle sur ces U_N là.

Pour l'exo. de base, on va pouvoir dire des trucs vu que tout entier N est de la forme 2n ou bien 2n+1 ce qui signifie que, si la suite U_{2n} tend vers L et la suite U_{2n+1} tend vers L', pour que la suite U_n tende vers quelque chose, il faut et il suffit que L=L'.

Je vois, je pensais la même chose a propos de U_2n et U_2n+1 mais je trouvais bizarre le fais de n'utiliser que ces 2 là pour répondre alors qu'on nous a aussi donner U_3n dans l'exo


Je vais essayer de montrer que L = L'

Merci pour ta reponse

[altaiir95]

Je vois, je pensais la même chose a propos de U_2n et U_2n+1 mais je trouvais bizarre le fais de n'utiliser que ces 2 là pour répondre alors qu'on nous a aussi donner U_3n dans l'exo


Je vais essayer de montrer que L = L'

Merci pour ta reponse

Pour la 1ere questions j'ai fais comme sa :

On remarque que U(6n+3) est une suite extraite de U(2n+1) et U(3n)donc elles a la même limite que ses 2 dernières ce qui nous amène a lim U(2n+1) = lim U(3n)

j'ai fais la même chose avec U(2n) et U(3n) en prenons U(6n) comme suite extraite commune

est ce que c'est correct ?

Sinon pour la 2eme question comment puis je formuler la réponse ?

J'aurai egalement une autre question, si on a par exemple plusieur suite extraite d'une suite et toutes ces suites extraite converge et ont la meme limite mais ne couvrent pas tous les nombres, peut on en deduire que Un converge vers la meme limites que ses suites extraitent ? ou alors on ne peut rien affirmer ? Pourquoi ?

Merci

[Ben314]

C'est correct modulo que tu ait déjà prouvé (en cours par exemple) ce résultat :

si la suite U_{2n} tend vers L et la suite U_{2n+1} tend vers L', pour que la suite U_n tende vers quelque chose, il faut et il suffit que L=L'.

Pour la deuxième question, il te suffit de prendre une suite qui vaut 0 sur tout les termes d'indice de la forme 3n+2 ou 5n+3 ou 7n+4 et qui vaut 1 sur les autres termes.
Par construction, cette suite admet une (et même des) suite extraite tendant vers 0 et il te suffit de montrer qu'il existe aussi une suite extraite tendant vers 1 pour conclure que la suite en question n'a pas de limite.

[altaiir95]

C'est correct modulo que tu ait déjà prouvé (en cours par exemple) ce résultat :

Pour la deuxième question, il te suffit de prendre une suite qui vaut 0 sur tout les termes d'indice de la forme 3n+2 ou 5n+3 ou 7n+4 et qui vaut 1 sur les autres termes.
Par construction, cette suite admet une (et même des) suite extraite tendant vers 0 et il te suffit de montrer qu'il existe aussi une suite extraite tendant vers 1 pour conclure que la suite en question n'a pas de limite.

je peu par exemple prendre U(n) et je la définie par les 3 sous suite donné dans l'exo = 1 ( ou n'importe quel autre nombre si j'ai bien compris ) puis je prend une autre suite extraite de U(n) comme par exemple U(9n+1) = 0 et cela montre que toute les sous suite n'ont pas forcement la même limite c'est bien sa ?

[zygomatique]

voir http://www.ilemaths.net/forum-sujet-620706.html

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