Modélisation: Equation differentiel

[aznyellow]

Bonjour,
Je vais expliquer rapidement ma situation, j'ai repris mes études récemment, et j'ai de grosse lacunes dans la matière Modélisation avec les équations différentiel.


J'aimerai donc avoir des pistes sur la résolution de mes exercices:
Exercice 6:
Une petite bille de métal est chauffée à 70 degrés, puis laissée, au temps t = 0, dans une grande pièce où l’air ambiant est à 20 degrés. On note y(t) la température (en degrés) au temps t (en minutes). Sachant que la vitesse y'(t) de décroissance de la température est proportionnelle à la différence entre la température de la pièce et celle de la bille, et qu’au bout de 5 minutes, la température de la bille est de 26 degrés, deviner la température de la bille au bout de 20 minutes

Exercice 7:
Les manchots sur la banquise se regroupent en hiver pour couver leurs oeuf. Ils forment un disque de manchots, et ceux qui sont à l’intérieur du disque sont bien au chaud, tandis que ceux qui sont au bord ont froid. Supposons pour simplifier que le disque est parfait, et notons y(t) le nombre de manchots au temps t. Le taux d’accroissement des manchots est a, mais il y a une mortalité plus forte au bord : les manchots du bord ont une mortalité b.
• Que dire de l’évolution de cette population ?
• Critiquer le modèle.

[pascal16]

Sachant que la vitesse y0(t) de décroissance de la température est proportionnelle à la différence entre la température de la pièce

ça doit plutôt être :
Sachant que la vitesse y'(t) de décroissance de la température est proportionnelle à la différence entre la température de la pièce et celle de la bille.

y'(t)=-(constante)(y(t)-20)

car :
différence entre la température de la pièce et celle de la bille : y(t)-20
proportionnel : (constante)
décroissance : le - devant
la vitesse : dy/dt = y'(t) ici

tu trouves une exponentielle, pour trouver le paramètre :
donnée : y(5)=26
on te demande y(20)

[edit] : corrigé suite au post de Ben

[Ben314]

Salut,

...ça doit plutôt être :
Sachant que la vitesse y'(t) de décroissance de la température est proportionnelle à la différence entre la température de la pièce et celle de la bille.
y'(t)=-(y(t)-20)

Perso, j'aurais plutôt écrit y'(t)=-K(y(t)-20) où K est une constante à déterminer (grace à la température au bout de 5 minutes)

Par contre, celui avec les manchots, je comprend pas trop l'énoncé :
- Le disque reste de taille constante et la densité de manchot ( = Nb par m²) varie ou bien au contraire le disque s'agrandit (ou rétrécit) avec une densité constante ?
- Les "manchots au bords", on doit modéliser ça "de façon continue" en considérant que le nombre au bord est proportionnel à la circonférence du disque (variable ?) ou lors on doit faire un truc discret ?
Et même avec els réponses à ces questions là, je suis pas sûr du tout de comprendre le "sens profond" du a et du b de l'énoncé...

[pascal16]

La seconde me pose des problème aussi, je suis aussi rouillé que toi
le nombre de manchots est proportionnel à là surface : pi*r²
le nombre de manchots au bord est proportionnel à 2pi*r
il y a donc un rayon à rajouter.
à vue d'oeil :
en dessous d'un rayon critique, tous finisssent par mourrir
en dessus de ce rayon critique, la population croit exponentiellement
C'est un système instable