Equation differentiel, aide pour debuter

[megamario]

Bonjour,

J'ai quelques difficulté à démarrer sur mon exo: Je précise j'ai 38 ans et je reprend les études pour un BTS et c'est simple de ce remettre dans le bain: merci de votre compréhension:

voila l'exposé:
Soit (E) l'équation différentielle y'+y=(1/2)*e^(-x) ou y est une fonction dérivable sur R.

1°)a) Déterminer a pour que la fonction h définie par h(x)=axe^(-x) soit une solution particulière de (E).

Voila pour le moment...Je n'arrive pas a démarrer, j'ai le logiciel maxima qui m'a donner comme résultat de y'+y=(1/2)*e^(-x) => y=(x/2+k)*e^(-x)

Mais je suis completement perdu par rapport a ce que l'on a fait en cours. C'est posé différemment , je sais pas mais j'arrive pas a décoller.

Ensuite on a:
b) Déterminer alors l'ensemble des solutions de (E).

je pense que je devrais retrouver ce que m'a donner Maxima

Merci de votre aide pour arriver a sortir du trou.

PS: je précise que je suis dans une classe classic avec des élèves de 18/20 ans, donc en cours cela drope, pas facile heureusement en ce moment j'ai quelque cours de remise a niveau et cela m'aide bien mais la....

[may prepa]

Pour la première question, dérive la fonction h qu'on te donne, tu trouve h' :
tu remplace y' par h' et y par h dans ton équation. Puis tu identifie membre à membre.

[megamario]

Pour la première question, dérive la fonction h qu'on te donne, tu trouve h' :
tu remplace y' par h' et y par h dans ton équation. Puis tu identifie membre à membre.

Merci, je vais pouvoir commencer, je voyait pas du tout sa, c'est pas évident de voir plus loin que ce que l'on a, mis a part apprendre les cours il faut réapprendre a apprendre

[megamario]

Donc,
h(x)=axe^(-x) => h'(x)= -ae^(-x)
ce qui me fait:
-ae^(-x)+axe^(-x)=(1/2)e^(-x)
-ae^(-x)+axe^(-x)=(1/4)e^(-x)+(1/4)e^(-x)
-a+ax=(1/4)+(1/4)
-a = 1/4 et ax = 1/4
donc:
a=-1/4 et x = -1

Je sais pas si m'a démarche est bonne?

[laki]

salut

attention x est une variable, il ne s'agit pas de l'identifier elle mais de trouver la valeur du paramètre a (qui lui est fixé) pour que la fonction h soit solution de l'équation sur R (cad pour tt x) !!!

sinon pour la suite, tu as une idée ?

a la prochaine

[laki]

D'ailleurs la dérivée h' n'est pas correcte, il faut que tu appliques la formule de dérivation d'un PRODUIT de fonctions ...


reprend ça calmement.

bon courage

[megamario]

Ha oui mince, j'ai été trop vite la dessus, je recommence.

[megamario]

re:
Donc:
h(x)=axe^(-x) avec u=ax et v=e^(-x) et la formule (uv)'=u'v+uv'
h(x)=ae^(-x)-axe^(-x)
je met en facteur e^(-x):
h(x)=e^(-x)*(a-ax)
Je remplace y et y' par h et h'
donc:
e^(-x)*(a-ax)+axe^(-x)=1/2e^(-x)
je remet en facteur e^(-x):
e^(-x)*(a-ax+ax)=1/2e^(-x)
e^(-x)*(a)=1/2e^(-x)
donc a=1/2

[megamario]

Pour la suite si a=1/2 vu que h=axe^(-x)
h=(x/2)e^(-x)
voila pour la fonction particuliaire:

Je cherche maintenant pour que: y'+y=0
a(x)y'+b(x)y=0
la formule nous donne
g(x)=b(x)/a(x)=1/1=1
G(x)=x
f(x)=ke^(-x)
y0=ke^(-x)
donc
y=ke^(-x)+(x/2)e^(-x)
je factorise:
y=e^(-x)*[(x/2)+k]
On retrouve ce que me donnait Maxima donc cela doit être bon ;)

Question suivante, je sais pas trop ou il veux en venir;
c)Déterminer la solution f vérifiant la condition initial:
f(0)=1/2

je cherche sa

[megamario]

Je pense a voir fini mon exo, si l'on pouvais me le confirmer se serait sympa:

donc:
c)Déterminer la solution f vérifiant la condition initial:
f(0)=1/2
1/2=e^(-x)*[(x/2)+k]
1/2=e^(-0)*[(0/2)+k]
1/2=1*k
k=1/2
donc y=e^(-x)*[(1/2)+(x/2)]
y=(x/2)e^(-x)
voila
Question suivante:

2°)On se propose de déterminer une primitive sur la fonction h définie sur R par g(x)=[(x/2)+(1/2)]e^(-x).

a) Vérifier que g(x) = (1/2)e^(-x)-g'(x).

g(x)=[(x/2)+(1/2)]e^(-x)
avec u=[(x/2)+(1/2)] et v=e^(-x) et la formule (uv)'=u'v+uv'
g'(x)=(1/2)e^(-x)-(x/2)e^(-x)

g(x)=(1/2)e^(-x) - [(1/2)e^(-x)-(x/2)e^(-x)]
g(x)=[(1/2)e^(-x)]-[(1/2)e^(-x)]+[(x/2)e^(-x)]
g(x)=(x/2)e^(-x)

donc g(x) et bien egale a (1/2)e^(-x)-g'(x).

b)En déduire la primitive de g

g(x)= (1/2)e^(-x)-g'(x)
G(x)=-(1/2)e(-x) - (x/2)e^(-x)

c) calculer l'intégrale:
l'integrale de 0 a 1 de g(x) dx

[-(1/2)e(-x) - (x/2)e^(-x)] au borne de 0 a 1
[(-e^-1)/2-(e^-1)/2]-[(-e^-0)/2-(0e^-0)/2]
(-2e^-1)/2 - [1/2]
= e^-1 +1/2

voila j'espère que c'est bon

[megamario]

Je me suis aperçu d'une erreur dans mon développement que j'ai corriger , je vais pas tout remettre ici mais
[(1/2)+(x/2)] n'est pas égal a (x/2)

Je me suis aperçu de l'erreur en recopiant sur m'a feuille et bien sur cela modifie le résultat final