Minimum

[ice456]

Bonsoir,

le but de l'exercice est de trouver un minimum local d'une fonction sur un interval donné.

Il nous est demandé de prouvé que , sous l'hypothèse suivante :

il existe un c appartenant à ]a,b[ vérifiant f(c) f(a) et f(c) f(b)

il existe y dans [a,b] tel que pour tout x de l'interval [a,b], f(y) f(x).


Je prendrais y = c et on a alors f(y)=f(c) f(a) f(x) comme a est minimum de l'interval...

Vous en pensez quoi?

Il est noté que les intervalles sont non orientés donc [a,b] = {ta + (1-t)b | 0t1}.

J'ai du mal a bien percevor cette notion... Visuellement sur un interval dans les réels ça donnerai quoi?

Ma preuve convient-elle toujours sur les intervalles non orientés?
Merci d'avance pour votre aide

[alavacommejetepousse]

Bonsoir,

le but de l'exercice est de trouver un minimum local d'une fonction sur un interval donné.

Il nous est demandé de prouvé que , sous l'hypothèse suivante :

il existe un c appartenant à ]a,b[ vérifiant f(c) f(a) et f(c) f(b)

il existe y dans [a,b] tel que pour tout x de l'interval [a,b], f(y) f(x).

a = 0 , b = 1 , f(x) = - 1/ x pour x non nul , f(0) = 0 contredit le résultat demandé.

[ice456]

J'ai oublié de précisé quelque chose dans l'hypothèse...

Voici l'hypothèse complète :

c appartenant à ]a,b[ tel que f(c) f(a) et f(c) f(b).
Si aucun c n'est trouvé, le minimum se situe au bord et est donc facile à trouver.


Et il faut donc prouver que sous cette hypothèse, il existe un y ]a,b[ tel que pour tout x [a,b] , f(y)f(x)


Je ne comprend pas trop ton exemple donnée.
JE ne sais pas si j'avais bien précisé qu'il faut prouver ceci sous l'hypothèse qu'un tel c existe.

[Mohamed Taoufiq]

bonjour qu'est ce que tu as pour la foction f ? (continue , croissante , ...)

[ice456]

Bonjour,

la fonction est continue.

En repensant à ma démo, je ne pense pas qu'elle soit correct...
Si on prend y=c , ok on a bien f(y) f(a) et f(y)f(b) mais je ne pense pas que f(y) soit à tous les éléments de l'interval :hum:

[ice456]

Bonjour,

la fonction est continue.

En repensant à ma démo, je ne pense pas qu'elle soit correct...
Si on prend y=c , ok on a bien f(y) f(a) et f(y)f(b) mais je ne pense pas que f(y) soit à tous les éléments de l'interval :hum:

Quelqu'un aurait-il une idée de piste?

Merci

[busard_des_roseaux]

oui,
dichotomie de l'intervalle et sous-suite convergente.

[ice456]

Merci pour ton idée.

Quand tu parle de dichotomie de l'interval , tu entends par là de séparer en deux cas :

1) y appartient à l'interval ]a,c[
2)y appartient à l'interval ]c,b[

c'est bien ça ou je fait fausse route?

Pourrais-tu m'éclaircir un peu plus sur ton idées des sous-suites?

On sait que si y_n est une sous-suite de x_n et x_n converge vers a, alors y_n converge vers a mais je ne vois pas comment utilisé ceci...

Merci :happy2:

[Maxmau]

Bonjour,

la fonction est continue.

En repensant à ma démo, je ne pense pas qu'elle soit correct...
Si on prend y=c , ok on a bien f(y) f(a) et f(y)f(b) mais je ne pense pas que f(y) soit à tous les éléments de l'interval :hum:

Quelqu'un aurait-il une idée de piste?

Merci

Comme f est continue sur [a,b] , elle admet un minimum absolu m sur [a,b]
Si m < f(c) alors m < f(a) et f(b) et m est atteint en un point y de ]a,b[
Si m = f(c) ce minimum est atteint en c qui est dans ]a,b[

[ice456]

Comme f est continue sur [a,b] , elle admet un minimum absolu m sur [a,b]

C'est correct de commencer en supposant ça?

Parce que il faut justement prouver qu'il existe un y inférieur aux autres points de l'interval...

[ice456]

Comme f est continue sur [a,b] , elle admet un minimum absolu m sur [a,b]

C'est correct de commencer en supposant ça?

Parce que il faut justement prouver qu'il existe un y inférieur aux autres points de l'interval...

[Maxmau]

C'est correct de commencer en supposant ça?

Parce que il faut justement prouver qu'il existe un y inférieur aux autres points de l'interval...

C'est un théorème classique
Je pense que le but de l'exo est de montrer, que sous certaines conditions (il existe c tq ...etc...), ce minimum est atteint en un point intérieur à l'intervalle (c'est à dire distinct de a et b)

[ice456]

Pour être sur le théorème en question c'est celui des bornes atteintes?

C'est à dire qu'une fonction continue sur un compact atteint ses bornes....

J'ai une petite sous-question concernant le fait que l'interval [a,b] soit non-orientés. J'ai du mal à bien percevoir cette notion.
Est-ce que dans ce cas là l'interval [a,b] est-il toujours compact?

Pour info la définition que j'ai de compact est "fermé et borné"

Merci en tout cas pour l'aide ça m'est bien utile.

[Maxmau]

Pour être sur le théorème en question c'est celui des bornes atteintes?

C'est à dire qu'une fonction continue sur un compact atteint ses bornes....

J'ai une petite sous-question concernant le fait que l'interval [a,b] soit non-orientés. J'ai du mal à bien percevoir cette notion.
Est-ce que dans ce cas là l'interval [a,b] est-il toujours compact?

Pour info la définition que j'ai de compact est "fermé et borné"

Merci en tout cas pour l'aide ça m'est bien utile.

Une fonction continue sur un compact (fermé borné) atteint ses bornes
Ok c'est bien ce théorème que j'utilise.
Dans la définition d'un compact, il n'y a aucune notion d'orientation

[ice456]

merci pour tout