Metriques equivalentes

[barbu23]

Bonjour,

Connaissez vous un exemple de deux metriques sur un même espace qui definissent la même topologie mais sont differentes, c'est à dire non équivalentes ?

Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Sur R, tu prend d1(x,y)=|x-y| et d2(x,y)=|arctan(x)-arctan(y)|
Le topo engendrées sont les même mais (R,d1) est complet et pas (R,d2)...

[barbu23]

Sur R, tu prend d1(x,y)=|x-y| et d2(x,y)=|arctan(x)-arctan(y)|
Le topo engendrées sont les même mais (R,d1) est complet et pas (R,d2)...

svp, quelle est la definition de deux metriques differentes c'est à dire non equivalentes ?
svp, sans utiliser la notion de completude, car c'est ce que à priori je dois déduire ( c'est à dire étant données deux metriques definissant la même topologie mais, non equivalentes ( je ne sais pas ce que ça veut dire ), alors la notion de completude n'est pas necessairement conservé pour les deux metriques )
Merci pour votre aide.

[Ben314]

Sauf erreur, deux distances d1 et d2 sur le même ensemble X sont dites équivalentes lorsqu'il existe deux constantes telles que, pour tout x,x' de X, on ait :

[barbu23]

Merci beaucoup.
Donc et deux metriques non équivalentes.
Peux tu me dire pourquoi.
Il est clair que d'après le Th. des accroissements finis que : , mais pourquoi n'est pas verifiée pour tout ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

...mais pourquoi n'est pas verifiée pour tout ...

Tout simplement parce que est majoré (par ) alors que n'est pas majoré.
Donc aucune égalité de ce type (même avec un coeff multiplicateur) ne peut être vraie !!!

[barbu23]

Tout simplement parce que est majoré (par ) alors que n'est pas majoré.
Donc aucune égalité de ce type (même avec un coeff multiplicateur) ne peut être vraie !!!

Ah oui merci beaucoup. :happy3:
Maintenant, pourquoi ces deux metriques induisent -t-elles la même topologie ?
MErci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Essaye de trouver tout seul.
On peut le faire
1) Soit "à la main" en vérifiant que les ouverts des deux topo. sont les mêmes.
2) Soit utiliser le fait bien connu que Arctan est un homéomorphisme de R sur ]-pi/2,pi/2[.

[barbu23]

Essaye de trouver tout seul.
On peut le faire
1) Soit "à la main" en vérifiant que les ouverts des deux topo. sont les mêmes.
2) Soit utiliser le fait bien connu que Arctan est un homéomorphisme de R sur ]-pi/2,pi/2[.

Juste une dernière question Ben214 : :lol3:
telle que : est continue et bijective de reciproque la fonction continue donc : est un homeomorphisme.
Qu'est ce que celà veut dire ?
Il faut montrer que
Soit , alors , mais nous veut avoir , pour dire que
Où est le problème ? :happy3:
Merci d'avance

[ffpower]

Moi j'ai toujours entendu que des métriques sont équivalentes si elles définissent la topologie. le c*d1

[Ben314]

C'est (encore et comme souvent) un truc qui dépend de l'auteur et du pays :
là : http://www.les-mathematiques.net/a/m/m/node9.php3 ils me donnent raison
par contre là : http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quivalence_des_distances ils ne donnent raison à personne vu qu'aucune des 4 définition ne parle de "distances équivalentes" sans rajouter un mot derrière.
Dans le cours que je fait, je prend les mêmes définitions que celles de "les-math.net" pour "distances équivalentes" et "distances topologiquement équivalentes" (en fait je préfère écrire "les topologies issues des distances sont équivalentes)

[ffpower]

hum, ok, c'est p-e "topologiquement équivalent" alors, qu'au fil des années j'ai raccourci en "équivalentes" dans mon esprit.. :we:

[Ben314]

hum, ok, c'est p-e "topologiquement équivalent" alors, qu'au fil des années j'ai raccourci en "équivalentes" dans mon esprit.. :we:

Je suis à peu prés certain que ça dépend des auteurs.
La solution la moins con, c'est sans doute celle de Wiki où ils ne parlent que de "distances bla_bla_bla équivalentes", mais c'est plus long à écrire...