Les fonctions équivalentes.

[theloulou]

bonjour, je viens d'entamer le chapitre sur les fcts équivalentes. je dois donc trouver une fonction simple équivalente pour:

f(x) = [(x²-3x+2) / (3x²+x-4)], j'ai mis x² en facteur puis j'ai trouvé pour le nuérateur N(x) ~ x² en +inf et pour le denominateur D(x)~3x² en +inf

soit f(x)~x²/3x² en +inf soit f(x)~1/3 en +inf

je dois maintenant faire pour f(x) = [(a+x)/(1-ax)] - racine(x) mais je sèche.. :hum: qui aurait une piste svp? merci d'avance

[Ben314]

Bonsoir,
La méthode est :
1) Dans un produit (ou quotient), on regarde les équivalents des différent termes et on en fait le produit (ou le quotient) : on a le droit.
2) Dans une somme, on 'intuite' qui est le terme le plus important, on le met en facteur, puis on calcule la limite de l'autre facteur. Si on ne s'est pas trompé sur qui est "le plus important", cette limite est finie et on a notre équivalent.

Essaye de mettre en pratique...

[theloulou]

Tout d'abord merci à toi Ben d'avoir pris le temps. Alors je vois ou tu veux en venir mais après plusieurs essais depuis une petite heure je n'ai pas obtenu la limite finie attendue malheureusent. Pour le terme le plus iportant il s'agit bien de x? si oui, la mise en facteur a eu raison de moi et a gagné par K.O... on me donne l'indication de faire 2 cas, pour a= -1 et a different de -1

[Ben314]

Bon, je te fait un "complétez les cases" : si x tend vers +oo alors
a+x est équivalent à ...
1-ax est équivalent à ....
Donc (a+x)/(1-ax) est équivalent à ???
Entre ?? et racine(x), lequel te semble le plus important ?
Met ce terme en facteur dans l'expression et calcule la limite du reste.


P.S. personellement, le seul cas particulier que je vois, c'est a=0...
On te demande bien un équivalent en +oo ?

[Finrod]

Je suppose que c'est un équivalent en +infty ?

la fraction est equivalente à -1/a et c'est donc la racine qui l'emporte

[theloulou]

Autant pour moi, il faut faire 2 cas, pour a=0 et a different de 0. Par contre rien n'est precisé pour le point d'equivalence mais nous n'avons vus que en +inf dans nos exemples... sinon comment choisir si rien n'est precisé?

[Finrod]

Si ce n'est pas précisé, on regarde les points où la fonction est une fome indéterminée et on cherhce la limite en ces pts avec des équivalents.

[theloulou]

Donc si je résume bien, racine(x) prime sur -1/a en + inf, donc je met racine(x) en facteur et f(x) ~ - racine(x) en +inf. mais on ne peut pas toujours definir quel terme est le plus haut, si? par exemple toujours en +inf, f(x)=ax+racine(x²+1) cela depend de a non?

[Finrod]

tu mets x en facteur, tu obtiens que c'est équivalent à (a+1)x en +infty et (a-1)x en -infty.


(les termes de même ordre se somment toujours, ce que l'on vérifie en factorisant.)

[theloulou]

Merci de ton aide Finrod, alors j'avais exactement la meme methode que toi, mais on me demande d'avoir la forme f(x) = g(x)(1+epsilon(x)) où lim epsilon(x) = 0 en + infini. Ici ce n'est pas le cas, si?

[Ben314]

tu mets x en facteur, tu obtiens que c'est équivalent à (a+1)x en +infty et (a-1)x en -infty.

Bien entendu, en supposant que a est différent de -1 pour l'équivalent en +oo et que a est différent de +1 pour l'équivalent en -oo.

Si a=-1, les deux termes sont de "même taille" et c'est là que ça commence à ce compliquer : comme ils ont la même taille, il faut trouver un "bricolage algébrique" pour qu'ils se simplifient...
Voit tu de quel "bricolage" je parle ?

(tu verra plus tard la notion de développement assymptotique qui permet d'éviter les "bricolage")

[Finrod]

Oui, c'est vrai, mais on peut carrément te demander si tu connais les formules du type en +infty

Edit : comment on fait ce fichu "infinity" en tex ici ?

[theloulou]

non je t'avoue être un peu pommé mais en effet il est bien indiqué de faire 2 cas, a=-1 et a different de -1. Ce chapitre n'a pas l'air si compliqué et pourtant je m'y perd un peu :doh:

[Ben314]

@Finrod : oo en LaTex -> \infty
Par contre, faut jamais que le premier symbole derrière la balise ouvrante TEX soit un '-' (moins) donc pour , faut penser à mettre un espace sinon tu as... absolument n'importe quoi (essaie, tu verra)
Personne n'a pu me dire d'où venait le bug.

@theloulou : en ce qui concerne la forme "f(x)=g(x)(1+epsilon(x)", de toute façon, pour le moment, je te conseille vivement de le faire systématiquement lorsque tu doit montrer que g est un équivalent de f (c'est la définition).
Fait attention que, quand par exemple tu dit que "racine(x) prime sur -1/a en +oo", ce n'est pas une preuve que f est équivalent à -racine(x) [en tout cas, je pense qu'a ton niveau, si tu met ça dans une copie, le prof considèrera que c'est insufisant comme explication]
Ce "racine(x) prime sur -1/a en +oo", ce n'est pas utile de l'écrire sur ta copie, mais c'est lui qui te dit de factoriser racine(x) dans le f(x).
Ensuite, le deuxième facteur doit tendre vers une constante si tu as eu la bonne intuition. Si tu met aussi la constante en facteur, alors le deuxième facteur tend vers 1 et c'est lui le fameux "1+epsilon(x)" que l'on te demande.

[Finrod]

J'ai déjà vu le coup du "-". Alors j'ai fait ça tt à l'heure et ça a planté, j'ai eu des doutes. Merci ^^

[Ben314]

@finrod : pour le "-", c'est clair, ça plante à tout les coups, mais il m'est déjà arrivé d'avoir des problèmes avec certaines formules et de les résoudre en rajoutant des espaces là où en LaTeX "normal" ils sont censés servir à rien...

[alavacommejetepousse]

Oui, c'est vrai, mais on peut carrément te demander si tu connais les formules du type en +infty

Edit : comment on fait ce fichu "infinity" en tex ici ?

bonsoir
on peut aussi lui demander de ne pas apprendre de formule fausse