Matrices Equivalentes/Semblables
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Joker62
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par Joker62 » 07 Nov 2009, 04:47
Bonsoir/Bonjour.
Je me pose une question assez spéciale concernant ces matrices.
Pour le cas des matrices équivalentes, je les prends à coefficients à dans un anneau euclidien.
Pourquoi alors, dans le cas des matrices semblables, on prend les coefficients dans un corps ?
Il me semble que ce soit pour l'utilisation du théorème des invariants de similitude qui utilise la structure de k[X]-module.
La question est alors, est-il possible d'étendre le théorème des invariants de similitude dans le cas où on se trouve sur un anneau euclidien ?
Merci et bonne fin de nuit :)
Moi je file commencer la mienne :)
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Joker62
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par Joker62 » 08 Nov 2009, 13:17
En fait, il me semble qu'on les prenne à coefficient dans un corps pour pouvoir se ramener aux facteurs invariants d'une matrice à coefficient dans un anneau principal (k[X])
Et on sait que si A n'est pas un corps, alors A[X] n'est pas principal, donc même pas euclidien. C'est ce qu'il nous dit que l'on doit prendre les matrices semblable à coeff dans un corps pour avoir des liens entres les deux théories.
Merci quand même :p
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Nightmare
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par Nightmare » 08 Nov 2009, 13:42
Salut :happy3:
La réponse m'intéresse. Je ne comprends juste pas ce que tu entends par "se ramener aux facteurs invariants d'une matrice" ?
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Joker62
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par Joker62 » 08 Nov 2009, 13:50
En fait on a deux théorèmes de structures importants.
Si on se prend une matrice A a coeff dans un anneau euclidien (Valable aussi pour les anneaux principaux mais plus galère) on a le résultat suivant :
Il existe une famille (d1,...ds) unique aux inversibles près telle que :
i) ds | ... | d1
ii) la matrice A est équivalente à diag(ds,...d1,0,...0)
La famille (di) est appelée : famille des facteurs invariants de A
Pour les matrices semblables, on a le théorème des invariants de similitude :
Il existe une famille P1,...Ps de polynômes unitaires non constants telle que Ps|...|P1 et la matrice A soit semblable à une matrice par blocs, où les blocs sont les matrices compagnons associées au Pi
On a alors d'un côté : les facteurs invariants pour une matrice à coeff dans un anneau euclidien, de l'autre les invariants de similitude pour une matrice à coeff dans un corps. Le lien est le suivant :
Soit A dans Mn(k), les invariants de similitude de A sont exactement les facteurs invariants de A-XIn Mn(k[X])
Donc pour utiliser ce théorème, on a en fait que k[X] soit un anneau euclidien (Principal dans le pire des cas)
Et on retrouve mon post 2 pour conclure qu'il y nécessité, pour avoir une cohérence dans les théories, de prendre les matrices semblables à coeff dans un corps :o
Edit : Orthographe :s
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Nightmare
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par Nightmare » 08 Nov 2009, 13:54
Super merci ! Je connaissais les invariants de similitudes (rencontrés pour prouver par exemple que deux matrices semblables dans Mn(k) sont semblables dans Mn(F) où F est une extension de k.)
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Joker62
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par Joker62 » 08 Nov 2009, 13:58
Oui par exemple.
Il est super puissant ce truc en fait. On passe de deux pages avec l'algèbre linéaire à quelques lignes en combinant plusieurs résultats.
Moi j'adore :p
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