[Fonction 2 variables]Méthode pour prouver la continuité

[trablazar]

Bonjour,

Je n'ai pas compris la méthode pour prouver la continuité (en (0;0) par exemple) d'une fonction à deux variables:

par exemple, je dois dire si la fonction suivante est continue ou non en 0:

f(x;y)=(x²+y²)*sin(x*y/(x²+y²))
f(0;0)=0

N'ayant aucune idée de sa continuité ou non en (0;0), j'ai remplacé x par r*cos(A) et y par r*sin(A).
Ainsi, je tombe sur f(r*cos(A);r*sin(A))=r²*sin(cos(A)*sin(A))
Puis-je en conclure que la fonction est continue en (0;0) sous prétexte que f(r*cos(A);r*sin(A)) tend vers 0 quand r tend vers 0 ?

[chan79]

Bonjour,

Je n'ai pas compris la méthode pour prouver la continuité (en (0;0) par exemple) d'une fonction à deux variables:

par exemple, je dois dire si la fonction suivante est continue ou non en 0:

f(x;y)=(x²+y²)*sin(x*y/(x²+y²))
f(0;0)=0

N'ayant aucune idée de sa continuité ou non en (0;0), j'ai remplacé x par r*cos(A) et y par r*sin(A).
Ainsi, je tombe sur f(r*cos(A);r*sin(A))=r²*sin(cos(A)*sin(A))
Puis-je en conclure que la fonction est continue en (0;0) sous prétexte que f(r*cos(A);r*sin(A)) tend vers 0 quand r tend vers 0 ?

salut
car un sinus est compris entre -1 et 1 donc c'est immédiat

[trablazar]

salut
car un sinus est compris entre -1 et 1 donc c'est immédiat

En effet... Donc il suffit juste d'etre capable de majorer la fonction par une fonction continue en 0;0 ?

[chan79]

En effet... Donc il suffit juste d'etre capable de majorer la fonction par une fonction continue en 0;0 ?

si tu veux que |f(x,y)-0| soit inférieur à , il suffit que soit inférieur à
soit

[trablazar]

si tu veux que |f(x,y)-0| soit inférieur à , il suffit que soit inférieur à
soit

Quand tu utilises (x,y) dans , c'est (x,y)=x²+y² ?

[chan79]

Quand tu utilises (x,y) dans , c'est (x,y)=x²+y² ?

la distance de à (0,0), c'est

si on veut que la distance de f(x,y) à 0 soit plus petite que , il suffit que la distance de (x,y) à (0,0) soit plus petite que

[trablazar]

la distance de à (0,0), c'est

si on veut que la distance de f(x,y) à 0 soit plus petite que , il suffit que la distance de (x,y) à (0,0) soit plus petite que

Et comment doit-on procéder si l'on est contraint d'utiliser les r*cos(A) et r*sin(A) ?

[Ben314]

Si c'est en (0,0) que tu doit montrer la continuité, cela veut dire qu'il faut que tu montre que |f(x,y)-f(0,0)| tend vers 0 lorsque ||(x,y)-(0,0)|| tend vers 0.
Or, si x=R.cos(A) et y=R.sin(A) avec R>0 alors ||(x,y)-(0,0)||=R (pour la norme euclidienne) donc il faut que tu montre que |f(x,y)-f(0,0)| tend vers 0 lorsque R tend vers 0 et ceci, indépendement de A.
La méthode consiste donc à majorer |f(x,y)-f(0,0)| par une quantité ne dépendant que de R (et pas de A) et qui tend vers 0 lorsque R tend vers 0.

[trablazar]

Si c'est en (0,0) que tu doit montrer la continuité, cela veut dire qu'il faut que tu montre que |f(x,y)-f(0,0)| tend vers 0 lorsque ||(x,y)-(0,0)|| tend vers 0.
Or, si x=R.cos(A) et y=R.sin(A) avec R>0 alors ||(x,y)-(0,0)||=R (pour la norme euclidienne) donc il faut que tu montre que |f(x,y)-f(0,0)| tend vers 0 lorsque R tend vers 0 et ceci, indépendement de A.
La méthode consiste donc à majorer |f(x,y)-f(0,0)| par une quantité ne dépendant que de R (et pas de A) et qui tend vers 0 lorsque R tend vers 0.

Ok du coup pour mon problème, étant donné que j'ai trouvé ,
je peux dire que c'est majoré par r² (puisque sinus compris entre -1 et 1) et donc en conclure que puisque que r² tend vers 0 quand r tend vers 0, alors f(r*cos(A);r*sin(A)) tend vers 0 quand r tend vers 0 ?

[Ben314]

Ok du coup pour mon problème, étant donné que j'ai trouvé ,
je peux dire que c'est majoré par r² (puisque sinus compris entre -1 et 1) et donc en conclure que puisque que r² tend vers 0 quand r tend vers 0, alors f(r*cos(A);r*sin(A)) tend vers 0 quand r tend vers 0 ?

Oui, c'est ça.