Méthode des moindres carrés non linéaire en électronique

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electroremy
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Enregistré le: 19 Jan 2014, 15:53

Méthode des moindres carrés non linéaire en électronique

par electroremy » 19 Jan 2014, 16:16

Bonjour tout le monde

il y a dix ans j'ai obtenu un diplôme d'ingénieur généraliste, et je suis un peu rouillé en maths car mon activité professionnelle sollicite assez peu ces connaissances :lol3:

je bricole beaucoup l'électronique, mon problème est le suivant : je dois "adapter" une thermistance CTN pour qu'elle corresponde aux valeurs d'une sonde bien précise à raccorder sur une chaudière. La notice technique de la chaudière donne les valeurs de la sonde, mais cette sonde est introuvable dans le commerce.

J'ai un tableau de valeur, en fonction de la température, que doit avoir la sonde; j'ai le même tableau pour la CTN :

Code: Tout sélectionner
T   R sonde   CTN
-20   2392   3495
-15   2018,75   2721
-10   1686,5   2135
-5   1397   1686
0   1149   1342
5   948,5   1074
10   781   866
15   642   702
20   528   573
25   436   470

En mettant une résistance R1 en parrallèle avec la CTN, puis une résistance R2 en série avec le tout, mon but est de trouver les valeurs de R1 et R2 pour que la résistance équivalente R soit égale à R Sonde quelque soit T avec une erreur minimale.

On a donc pour chaque température T une équation à résoudre RSONDE(t) = R2 + (R1 * CTN(t)) / (R1 + CTN(t)) + Erreur(t)

le but étant de minimiser la somme de tous les Erreur(t) (méthode des moindres carrés)

contrainte supplémentaire de ce calcul d'optimisation : R1 et R2 doivent êtres positifs

N'y arrivant pas, j'ai "bêtement" résolut mon problème en prenant deux équations, pour t=-10°C et t=+15°C

Dans la suite, RSONDE(-10°) = RA, RSONDE(+15°) = RB, CTN(-10°C) = CA, CTN(+15°C) = CB :

RA = R2 + (R1 * CA) / (R1 + CA)
RB = R2 + (R1 * CB) / (R1 + CB)

Il faut résoudre : R1²(RA-CA-RB+CB) + R1(RA.CA+CB.RA-RB.CB-CA.RB) + CB.RA.CA-CA.RB.CB = 0

ce qui donne R1=8123,44 ou R1=-496,04, il faut choisir R1=8123,44 Ohms

Et ensuite : R2 = RA - R1 * CA / (R1 + CA) ce qui donne R2=-3,14, il faut choisir R2=0

Le résultat n'est pas trop mal :

Code: Tout sélectionner
T   R sonde   R   Erreur
-20   2392   2439,49   -1,99%
-15   2018,75   2034,11   -0,76%
-10   1686,5   1686,50   0,00%
-5   1397   1392,06   0,35%
0   1149   1147,57   0,12%
5   948,5   944,43   0,43%
10   781   778,41   0,33%
15   642   642,00   0,00%
20   528   531,08   -0,58%
25   436   440,13   -0,95%

Petite remarque : il aurait été plus évident de choisir pour les deux équations TA=-20°C et TB=+25°C, je l'ai fait au début mais l'erreur est nettement plus importante. L'erreur est minimale si on prend des points au quart et au 3/4 de la courbe.

Il aurait été plus sérieux de trouver le calcul en tenant compte de toutes les valeurs de T, avec une vraie méthode des moindres carrés. Comment vous y prendriez vous ?

PS : vous pouvez télécharger le fichier excel avec tous mes calculs ici : electroremy4.free.fr/sonde.xls

A noter que ce type de problème se pose souvent en électronique et en dépannage... Trouver une solution solide et propre rendrai service à pas mal de monde.

Merci, A+ :lol3:



forhekset
Membre Naturel
Messages: 36
Enregistré le: 07 Sep 2005, 15:46

par forhekset » 21 Jan 2014, 05:57

Bonjour,

ici le modele recherche etant non lineaire, il faut oublier le calcul a la main et passer a des methodes de resolution type Gauss-Newton ( Levenberg-Marquardt ).

Ensuite pour les contraintes d'inegalites , il faut voir avec les multiplicateurs de lagrange ( plus precisement les conditions de Kunh-Tucker ).

Je ne suis pas un pro en optimisation donc je te laisse chercher des informations plus complete sur ces methodes.

En utilisant Matlab( si dispo ) ou Scilab( open source !) qui implemente ces methodes, tu devrais pouvoir obtenir quelquechose !

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WillyCagnes
Membre Transcendant
Messages: 3695
Enregistré le: 21 Sep 2013, 21:58

par WillyCagnes » 21 Jan 2014, 13:31

bonjour,

avec Excel, tu peux utiliser la courbe de tendance polynomiale ordre 2,
j'ai decoupé la courbe en 2 parties pour les températures

[-20°C à 0] R= 0,84T² -45,34T+1149,1 avec R²=1 coef. résolution
[0 à 30°C] R= 0,681T² -44,379T +1151,9 avec R²=0,9997
Merci d'aider cette association
PENSION MILLEPATTES
https://www.facebook.com/Association-millepattes-1723852844561273/

 

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