Méthode des coefficients indéterminés

[Anonyme]

salut

j'ai l'équation:

d²x/dt² + dx/dt = t + e^-t

les racines sont donc: -1 et 0

l'équation complémentaire est donc:

xc = c1 + c2 * e^-x

pour l'équation particulière

xp = A*t + B + C*e^-t

1 et e^t sont dans l'équation de départ... donc on multiplit ces deux
élément par t

donc

xp = A*t + B*t + C*t*e^-t

mais il semble que c'est faut...

ça doit donner:

xp = A*t² + B*t + C*t*e^-t

pourtant t n'est pas dans la solution complémentaire...

une idée?

merci

[Anonyme]

On Sun, 20 Feb 2005 11:06:17 -0500, Marc Collin
wrote:

>salut
>
> j'ai l'équation:
>
> d²x/dt² + dx/dt = t + e^-t
>
> les racines sont donc: -1 et 0
>
> l'équation complémentaire est donc:
>
> xc = c1 + c2 * e^-x
moi je dirai que c'est la solution générale de l'équation sans second
membre (avec e^(-t) au lieu de e^(-x))

en suite il faut chercher une solution particulière de l'équation
compléte : on peut le faire en deux fois

en chercher une que pour t sous forme de polynôme P : P"+P'=t
en chercher une que pour e^(-t) sous forme Q*e^(-t) avec Q poly
(Q*e^(-t))"+( Q*e^(-t))'=e^(-t)

et la solu géné de l'équation compléte sera

c1+c2*e^(-t)+P+Q*e^(-t)


> pour l'équation particulière
>
> xp = A*t + B + C*e^-t
>
> 1 et e^t sont dans l'équation de départ... donc on multiplit ces deux
>élément par t

> donc
>
> xp = A*t + B*t + C*t*e^-t
>
> mais il semble que c'est faut...
>
> ça doit donner:
>
> xp = A*t² + B*t + C*t*e^-t
oui ,
> pourtant t n'est pas dans la solution complémentaire...
>
> une idée?
>
> merci

*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

[Anonyme]

(Alain Pichereau) wrote:

> On Sun, 20 Feb 2005 11:06:17 -0500, Marc Collin
> wrote:
>[color=green]
>>salut
>>
>> j'ai l'équation:
>>
>> d²x/dt² + dx/dt = t + e^-t
>>
>> les racines sont donc: -1 et 0
>>
>> l'équation complémentaire est donc:
>>
>> xc = c1 + c2 * e^-x
> moi je dirai que c'est la solution générale de l'équation sans second
> membre (avec e^(-t) au lieu de e^(-x))[/color]

en effet c'est t et non x



> en suite il faut chercher une solution particulière de l'équation
> compléte : on peut le faire en deux fois
>
> en chercher une que pour t sous forme de polynôme P : P"+P'=t
> en chercher une que pour e^(-t) sous forme Q*e^(-t) avec Q poly
> (Q*e^(-t))"+( Q*e^(-t))'=e^(-t)
>
> et la solu géné de l'équation compléte sera
>
> c1+c2*e^(-t)+P+Q*e^(-t)
>


je comprend plus ou moins là

* d²x/dt² + dx/dt = t + e^-t

**xc = c1 + c2 * e^-x

je prend donc t et je la met dans la solution particulière

xp= At


on dérive

t -> 1
1-> 0 c'est fini

on ajoute cela dans l'équation donc:

xp = At + B

on prend e^-t on l'ajoute dans l'équation... donc:

xp = At + B + C*e^-t

il y a exception car B et présent dans ** et e^-t aussi... donc on multiplie
par t

xp = At + Bt + C*te^-t


mais la réponse semble être

xp = At^2 + Bt + C*te^-t

mais question:

on a 3 élément A, B et C

dois-je multiplier par t tous les éléments précédent B et C...?