Mesure non sigma-finie

[elvis77]

Bonjour à tous !
Nous commencons a voir en cours la mesure en vue de voir l'integrale de lebesgue. Je bute sur un exercice, ou plutot sur sa formulation par rapport au cours que l'on a.

On nous a donné la définition d'une mesure mu : mu(ens vide)=0, mu(U An)=somme(mu(An)) et enfin il existe une suite An tq U An=E et mu(An)Le sujet est : on pose mu(ens vide)=0, mu(A)=+inf si A différent de "ens vide" et A appartient à l'ensemble des parties de X i.e. P(X) montrer que mu est une mesure non sigma finire sur P(X).

Ce que je comprend pas c'est déjà le terme non sigma finie, faut il s'aider de la définition (qui je suppose est une définition pour les mesures finies ?!).
J'ai essayé d'exhiber une suite tq l'union de tous les éléments de la suite = X et après j'ai dit que comme mu(A)=+inf on peut pas avoir mu(U An)<+inf donc ce n'est pas finie.

Autre problème dans l'exhibition de cette suite, je ne suis pas sur de prouver qu'il existe bien une suite qui soit égale à tout X. Je me suis dit qu'avec l'aide de la stabilité par complémentarité dans les tribus, il doit y en avoir une qui marche mais je sais pas trop.

Si quelqu'un a quelques minutes, à me consacrer, je suis tout ouïe ! merci par avance

bien cordialement

Elvis

[Joker62]

Haileau.

Tu devrais te relire déjà.
La définition que tu as donnée, est pour une mesure sigma finie (Oui je sais, c'est le sujet de ta question, c'est juste que tu as zappé) et ensuite, la déf est fausse, il faut que l'union soit disjointe.

Enfin, j'ai pas trop compris l'énoncé de la question.

On pose m(ø) = 0 et m(A) = +;) pour A != ø, A€P(X) ?

La sigma-finitude (Coooool) ça revient en fait à dire qu'il existe un recouvrement de E, telle que chaque élément de ce recouvrement soit de mesure finie.

Par exemple la mesure de Lebesgue sur R est sigma finie parce que c'est une mesure que R = U]-n;n[ et que Lambda(]-n;n[) = 2n < +;)

Donc pour montrer qu'une mesure n'est pas sigma finie, tu dois montrer que POUR TOUT recouvrement de E, il existe un élément de ce recouvrement qui soit de mesure infinie.

[Nightmare]

Ca me rassure, je croyais être le seul à ne pas avoir compris son énoncé !

[Joker62]

Lol n'empêche c'est bien de fréquenter un forum. Ca donne une bonne vision critique des énoncés justement :D

[elvis77]

oui, union disjointe j'avais oublié de le mettre, merci. c'est vrai que je ne me suis pas relu (erreur de ma part, j'aime pas me relire :-()
On a :
m(ø) = 0 et m(A) = +;) pour A != ø, A€P(X), montrer que m est une mesure non sigma-finie sur P(X), c'est tout ce que j'ai comme énoncé.

Pouvez vous m'expliquez ce qu'est un recouvrement de E ? comment ça se matérialise en terme d'écriture ?

Merci pour votre réponse

Cordialement vôtre

Elvis.

[elvis77]

le recouvrement, c'est un peu comme la définition avec le il existe une suite croissante de An tq U An=E et pour chaque An la mesure de An est finie ?

Dans ma démonstration, je dis soit un recouvrement de X(=E), comment écrire ça mathématiquement ?

merci

[Nightmare]

Ce n'est vraiment pas dur, regarde ce qu'on te dit et ce qu'on te demande :

Dans notre espace mesuré, le vide est de mesure nulle et toutes les autres parties sont de mesure infinie.

On nous demande de montrer qu'on ne peut pas recouvrir notre ensemble par une suite croissante de parties de mesure finie. C'est plutôt évident puisque notre ensemble n'a qu'une seule partie de mesure finie ...

[elvis77]

Expliquez comme ça, c'est clair comme de l'eau ! il faut savoir que c'est la premiere fois que je manipule des mesures donc je ne suis pas encore familiarisé avec ces objet, mais c'est vrai que c'était simple.

Merci pour ces explications Nightmare ! Bon dimanche.

Elvis

[Nightmare]

Je t'en prie :lol3: