Mesure de Lebesgue sur R

[legeniedesalpages]

Bonjour, je bloque à cet exo :

Soit la mesure de Lebesgue sur , la mesure de Dirac en 0 et soit .

Calculer où .

Alors voilà, j'ai montré que , et j ai montré que .

Par contre je ne sais pas si . De toute façon le résultat va etre soit , soit , qui sont égaux.
Mais je suis curieux de savoir comment on le montre.

[fahr451]

bonsoir

comment 0 pourrait -il être dans U An ?

être dans l'union c'est être dans au moins un des An

[legeniedesalpages]

oui c'est vrai.
Merci Fahr451 :)

[quinto]

De toute façon le résultat va etre soit , soit , qui sont égaux.

Non, justement pas puisque tu as un Dirac en 0.

[legeniedesalpages]

oui effectivement, je m'étais mis en tete que je calculais la mesure de lebesgue :mur:

[quinto]

Compte tenu du fait que ton Dirac est en 0, si tu es "loin" de 0, ta mesure coïncide effectivement avec la mesure de Lebesgue puisque tu sommes deux mesures singulières dont l'une est supportée en 0.
a+

[BQss]

Bonjour, je bloque à cet exo :

Soit la mesure de Lebesgue sur , la mesure de Dirac en 0 et soit .

Calculer où .

Alors voilà, j'ai montré que , et j ai montré que .

Par contre je ne sais pas si . De toute façon le résultat va etre soit , soit , qui sont égaux.
Mais je suis curieux de savoir comment on le montre.

Salut.

On a:

( en fait ici on a même car est croissante de toute façon)

On applique le théorème de convergence monotone à la suite croissante ou a :


ou alors pour :

[yos]

On a:

( en fait ici on a même car est croissante de toute façon)

Salut BQSS.
Je sais pas si c'est une bonne idée de parler de limite de suite d'intervalles
(topologie sur l'ensemble des intervalles de R?).

[BQss]

Salut BQSS.
Je sais pas si c'est une bonne idée de parler de limite de suite d'intervalles
(topologie sur l'ensemble des intervalles de R?).

Salut Yos, ça va?
la définition que j'utilise, c'est celle de limite d'ensemble qui n'est pas liée a la topologie de R specialement, la notion de distance n'intervient pas:
converge vers A au sens des ensembles si pour tout element x de A, x appartient à à partir d'un certains rang et si pour tout élément x qui n'appartient pas à A, x n'appartient pas à à partir d'un certains rang.

Comme tu le vois cette definition s'applique dans tout les espaces, même non metrique...

Mais ici de toute facon c'est la fonction indicatrice que j'utilise en fait, sachant que:
tend vers ssi tend vers A.

Le théorème de convergence monotone s'applique a la suite à proprement dit et pas à A_n. Meme si c'est equivalent.
Car en fait un autre théorème (un cas particulier de convergence monotone en fait) dit que si croit vers A alors
avec l'intersection à l'infini des .



Pour revenir a l'exo [1/n;1] tend vers ]0;1] pour la definition car 0 n'appartient a aucun et donc aucun a partir d'un certains rang et pour tout x appartenant à ]0;1] il existe un n0 tel que x appartient à

[yos]

Les réunions infinies étant de définitions évidentes, on peut s'en contenter je pense.

tends vers ssi tend vers A.

C'est une bonne définition de tend vers A.

[BQss]

Les réunions infinies étant de définitions évidentes, on peut s'en contenter je pense.

Oui, j'avais au debut mis juste la demo pour ça et puis j'ai rajouté le cas particulier pour alléger car A_n croit vers A aussi. Juste un souci d'esthetisme, "special dedicasse"(comme disent certains) à Erdôs à mon modeste niveau .

[BQss]

Au passage Yos, un petit exo marrant, rapide à faire.


Soit (Xt) une collection de variables aléatoires et l un réel

Montrer que :
dans

est equivalent à :

et

[quinto]

Ici tu n'as vraiment pas besoin du théorème de la convergence monotone qui est un gros théorème.
Tu as simplement besoin d'un petit lemme qui dit que la mesure d'une union croissante est tout simplement la mesure de la limite.
On a un dual a cette propriété pour les intersections, si on suppose qu'un ensemble au moins, est de mesure finie.

[BQss]

Ici tu n'as vraiment pas besoin du théorème de la convergence monotone qui est un gros théorème.
Tu as simplement besoin d'un petit lemme qui dit que la mesure d'une union croissante est tout simplement la mesure de la limite.

Salut Quinto how are you?

En fait c'est même mieux ici. C'est valable du moment que converge vers A de quelconque facon et sans aucune restriction sur le type de mesure. Le resultat serait valable si tendait vers B aussi et sans croitre.


Passer par le théorème de convergence monotone permet juste de mettre en evidence de façon simple( une ligne) la nullité de la mesure de dirac sur cette limite sans avoir a connaitre la limite de l'union. Et ici on fait meme sans "l'appliquer directement" grace a un cas particulier(fonction indicatrice).

On aurait besoin du théorème absolument si, on nous avons demandé la lim de
et non pas comme tout simplement ici.
C'est à dire si on avait eu besoin de "rentrer" la limite et das ce cas la le fait qu'une suite d'union soit croissante est un détail important car c'est une hypothèse necessaire pour appliquer le théorème.

Mais ici on a pas besoin d'evoquer une quelconque croissance si on utilise pas le théorème de convergence monotone, juste determiner la limite de l'ensemble et alors , la mesure sera celle de cette limite(ici en l'occurence la suite est croissante mais c'est un cas particulier).

L'interet du theoreme de convergence monotone ici c'est qu'il ne necessite pas de connaitre la limite de l'union pour connaitre le resultat... D'ou le fait que je l'ai introduit...

PS: "la mesure d'une union croissante", c'est comme monter en haut ? :zen:

[BQss]

Si non personne pour mon petit exo?

[quinto]

PS: "la mesure d'une union croissante", c'est comme monter en haut ? :zen:

Oui un peu, mais je voulais utiliser les deux termes.