Mesure de l'ensemble des racines d'un polynome et opérateur

[izoard]

Bonjour,
je dispose d'un polynome d'un polynome à coefficients réels et constansts


Comment montrer que est de mesure nulle ???

Je definis alors l'operataur A par :



Il parrait que je peut déduire à partir de mon ensemble de mesure nulle le fait que l'image de A est dense dans ???

Merci d'avance de votre aide

[girdav]

Bonjour,
la première question peut se traiter par une récurrence sur le nombre de variables. Le passage de la dimension 1 à la dimension 2 donne une inspiration pour l'hérédité. (d'ailleurs il faut supposer le polynôme non nul)

[izoard]

en dimension 1,un polynome n'a qu'un nombre fini de racines, donc pas de problème .

En dimension 2, il peut y avoir une infinité de racine par exemple

Je reprends l'idée de la recurrence
Soit P(x,y) un polynome de degré 2

A x=x0 fixé, P(x0,y) vu comme polynome de la seule variable y a un nombre fini de racines .

D'ou l'idée d'ecire l'ensemble des racines comme

Le problème c'est qu'on ne peut rien dire de la mesure d'une union quelconque non?!

[girdav]

Tu peux t'inspirer de ce qui a été fait ici.

[izoard]

Je comprends le fil de la demo mais je ne vois pas pourquoi A, et C sont de mesure nulle

[girdav]

est en fait fini, puisque pour , a un nombre fini de racines. Tu peux écrire que et voir que chaque élément de la réunion est de mesure nulle. Pour , applique le théorème de Fubini.

[izoard]

J'ai un peu honte mais je ne suis vraiment pas au point sur les mesures ...
Je n'arrive toujours rien à montrer ...
Deja je me pose la question de savoir si on travaille bien avec la mesure de Lebesque sachant que celle ci ne verifie pas m(A*B)=m(A)*m(B), ce qui aurait bien pratique pour traiter les 2 derniers exemples .

Tu me parle ensuite de Fubini mais le seul fubini que je connaisse et celui pour intervertir deux integrales

[girdav]

Deja je me pose la question de savoir si on travaille bien avec la mesure de Lebesque sachant que celle ci ne verifie pas m(A*B)=m(A)*m(B), ce qui aurait bien pratique pour traiter les 2 derniers exemples .

Oui, on travaille bien avec la mesure de Lebesgue. La relation est vraie (car dans la construction de la mesure produit on commence par la définir pour les unions finies de pavés mesurables, puis on l'étend via un théorème costaud (Carathéodory-Hahn).

Tu me parle ensuite de Fubini mais le seul fubini que je connaisse et celui pour intervertir deux integrales

Oui, ici il va servir puisque la mesure d'un ensemble peut s'exprimer à l'aide d'une intégrale.

[izoard]

[Je suis d'accrd sur le fait que A est de mesure nulle

De ce fait


Or m(A)=0 donc

Par contre pour le dernier, je n'ai vraiment pas compris

[izoard]

Bonjour,
mieux vaut tard que jamais, donc j'aimerais vraiment conclure sur cette démonstration,
Je ne vois vraiment pas comment montrer que la mesure de l'ensemble C est nulle

Pour utiliser Fubini, j'imagine qu'il faut travailler sur, mais je ne vois plus quoi écrire !!

Merci d'avance