Mesure / Analyse fonctionnelle

[Ouimet21]

Soit L^2(R,L_R,\lambda) l'espace des fonctions de carre integrables ou R denote les reels, L_R la tribu de Lebesgue et \lambda la mesure de Lebesgue.
Notons cet espace L^2(R).

Introduisons la relation d'equivalence suivante:
Soit f,g dans L^2(R), f~g si et seulement si f=g \lambda presque partout.
Notons L^2_\lambda(R) l'espace des classes d'equivalence pour les fonctions dans L^2(R).

La norme sur cet espace est la norme usuelle.

Soit P une forme lineaire continue (non identiquement nulle) sur L^2_\lambda(R).
Nous definissons ||P||=sup{|P([f])| tel que ||[f]||=1}.

Soit une suite {[g_k]} d'elements [g_k] dans L^2_\lambda(R) tel que
||[g_k]||=1 et lim_k->\infty P([g_k])=||P||

On peut montrer que la suite {[g_k]} admet une limite dans L^2_\lambda(R), notee [g].

On peut aussi montrer que ||[g]||=1 et P([g])=||P||.

Maintenant, on doit montrer que

pour tout [f] dans L^2_\lambda(R) tel que P([f])=0, on a =0.

J'ai deja une solution au probleme, mais j'aimerais en trouver une plus elegante et plus directe aussi.

La preuve que j'ai presentement tient du theoreme 2.5 et 2.6 du livre d'analyse fonctionnelle de Conway.
L'idee est de montrer que l'espace L^2_\lambda(R) (qui est un espace de Hilbert) se decompose comme la somme directe de ker P et son orthogonal.
Ainsi, puisqu'on a montre que P([g])=||P|| n'est pas 0, on est force de conclure que [g] est dans l'orthogonal de ker P et par definition, =0

Ainsi, je demande votre aide pour savoir s'il n'y aurait pas un chemin plus directe que les deux theoremes du conway qui utiliserait les resultats precedents...

J'enonce les theoreme pour que vous sachiez de quoi je parle:

Theoreme 2.5:
Soit H un espace de Hilbert, K un sous ensemble convexe ferme non vide de H et h dans H,
il existe un unique point k_0 dans K tel que ||h-k_0||=dist(h,K)=inf{||h-k|| tel que k dans K}

Theoreme 2.6:
Soit M un sous espace lineaire ferme de H, h dans H et f_0 l'unique element de M tel que ||h-f_0||=dist(h,M), alors h-f_0 est orthogonal a M

A partir de la, cest trivial, soit h dans H, h=h-f_0+f_0 son unique decomposition
On a que ker P et son orthogonal n'ont que 0 en commun

donc L^2_\lambda(R)=ker P + ortho(ker P) et on conclu comme on l'a dit

Merci de m'aider.

[arnaud32]

ca revient a montrer le th de representation de riesz

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_repr%C3%A9sentation_de_Riesz

[Ouimet21]

ca revient a montrer le th de representation de riesz

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_repr%C3%A9sentation_de_Riesz

Je sais, cet exercice nous ait propose car cest le theoreme de Riesz dans le cas particulier de l'espace de Hilbert L^2_\lambda(R)

Or l'approche du probleme est differente (surtout le debut, ie jusqua la partie en gras du premier post) ensuite la preuve est presque qu'identique...

C'est pour ca que j'ai besoin d'aide pour trouver une solution plus efficace que celle du Conway qui justement s'appui sur les theoremes enonces plus haut pour demontrer le theoreme de Riesz dans son livre.

Ainsi on cherche a utiliser les deux resultats qui precedent la ligne en gras pour demontrer celle ci d'une autre facon que celle de Conway.

Bref, je veux que quelqu'un me dise s'il existe une solution au probleme en gras, autre que celle de Conway (ou similaire), qui utilise les resultats que je vous donne juste avant.

Au fond, je veux pas une preuve complete du theoreme de Riesz, je veux juste une idee de la preuve specifique a la partie en gras dans le premier message, sachant les deux resultats qui precedent.

Merci

[arnaud32]

Ton pb est quand même étroitement lié à la structure hilbertienne
Tu ne peux pas à mon avis passer à côté du tu de projection sur un convexe ferme ou tout du moins de l'identite du parallélogramme

[ffpower]

pour tout réel a, P(g+af)=P(g)=||P||.||g||
et d'autre part ||P(g+af)||<||P||.||g+af||
donc ||g+af||>||g||

On éléve au carré et on regarde ce qui se passe quand a tend vers 0..
Technique qui reste très proche de ce qu'on fait dans les Hilberts généraux une fois encore

Arnaud: l'identité du parallélogramme a déjà été utilisé à ce stade pour montrer que P atteint son max

[Ouimet21]

cest exactement ce quil me fallait, merci beaucoup