Matrices semblables

par **jeje56** » 18 Fév 2010, 11:51

Bonjour,

Pour prouver que deux matrices semblables A et B ont même polynôme caractéristique P, j'utilise la formule de P avec la trace et le déterminant en disant :
det A=det B
trace(A)=trace(B)
car det et trace sont deux "invariants"

Est-ce juste ?

Merci !

par **Ben314** » 18 Fév 2010, 11:57

Salut,
C'est juste uniquement pour les matrices 2x2 car dans ce cas, le polynôme caractéristique d'une matrice M est X²-trace(M)X+det(M).
En dimension plus grande, le déterminant et la trace ne sont plus les seul coefficients qui apparaissent dans le polynôme caratéristique.

La preuve "générale" consiste bètement à revenir à la définition de "semblable" :
Si A et B sont semblables alors il existe une matrice P inversible telle que B=P^-1.A.P.
Le poly.car. de B est alors :
P(X) = det(B-X.Id) = det( P^-1.A.P - X.P-1.Id.P )
= det[ P^-1(A-X.Id)P ] = det(P^-1) det(A-X.Id) det(P)
= det(A-X.Id)
car det(P^-1)=[det(P)]^-1

par **jeje56** » 18 Fév 2010, 12:59

Merci bcp Ben, c'est clair ;-)

par **alavacommejetepousse** » 18 Fév 2010, 15:29

Ben314 a écrit:Salut,
C'est juste uniquement pour les matrices 2x2 car dans ce cas, le polynôme caractéristique d'une matrice M est X²-trace(M)X+det(M).
En dimension plus grande, le déterminant et la trace ne sont plus les seul coefficients qui apparaissent dans le polynôme caratéristique.

La preuve "générale" consiste bètement à revenir à la définition de "semblable" :
Si A et B sont semblables alors il existe une matrice P inversible telle que B=P^-1.A.P.
Le poly.car. de B est alors :
P(X) = det(B-X.Id) = det( P^-1.A.P - X.P-1.Id.P )
= det[ P^-1(A-X.Id)P ] = det(P^-1) det(A-X.Id) det(P)
= det(A-X.Id)
car det(P^-1)=[det(P)]^-1

bonjour ben314
je ne sais pas si au niveau de jeje56 les matrices à coefficients dans K[X] sont licites

par **Ben314** » 18 Fév 2010, 16:12

alavacommejetepousse a écrit:bonjour ben314
je ne sais pas si au niveau de jeje56 les matrices à coefficients dans K[X] sont licites

C'est pas faux...
Si on veut faire "baisser le niveau théorique", on met lambda à la place de X et on regarde le polynôme caractéristique comme une fonction polynôme et pas comme un polynôme formel.
Comme au début, on fait uniquement des applications sur Q, R et C (corps infinis), cela ne change pas grand chose...
D'ailleurs, je me demande comment définir le polynôme caractéristique en temps que polynôme formel sans passer par des matrices à coeff. dans l'anneau K[X] ???

par **alavacommejetepousse** » 18 Fév 2010, 16:17

bein ben tu fais réponse et question dans cet ordre en fait

par **Nightmare** » 18 Fév 2010, 16:26

Salut Ben :happy3:

on peut voir ça ainsi il me semble. Si E est un k-ev, le noyau du morphisme qui envoie un polynôme P de k[X] sur P(f) où f est un endomorphisme de E est un idéal de k[X] qui est principal. Sauf erreur, son générateur est le polynôme caractéristique.

par **alavacommejetepousse** » 18 Fév 2010, 16:28

non c'est le minimal

par **Nightmare** » 18 Fév 2010, 16:28

Oh le confusion, je réfléchis depuis tout à l'heure avec le polynôme minimal en tête. Au temps pour moi :s

par **Ben314** » 18 Fév 2010, 16:30

Salut Nightmare,

Nightmare a écrit:Si E est un k-ev, le noyau du morphisme qui envoie un polynôme P de k[X] sur P(f) où f est un endomorphisme de E est un idéal de k[X] qui est principal. Sauf erreur, son générateur est le polynôme caractéristique.

Sauf erreur, c'est plutôt la définition du polynôme minimal... (bon, d'accord, statistiquement parlant, c'est toujours le même... mais quand même...)

par **Nightmare** » 18 Fév 2010, 16:31

Bon alors je me rattrape :

En décomposant E en sous-espace propres, le polynôme caractéristique (le bon cette fois ci) est le produit des polynômes minimaux définit comme plus haut sur chacun d'entre eux.

par **alavacommejetepousse** » 18 Fév 2010, 16:36

hum

f est donc diagonalisable ? et quand bien même non

par **Nightmare** » 18 Fév 2010, 16:42

Oui, le mot "décomposant" n'est pas adapté, E n'est pas forcément somme de ses sous-espaces propres.

par **alavacommejetepousse** » 18 Fév 2010, 16:45

et même

si f est une homothétie en dimension supérieure ou égale à 2 , que valent son polynôme minimal et caractéristique

par **Nightmare** » 18 Fév 2010, 16:54

Oui tu as raison, il y a un soucis sur la décomposition, mais je pense avoir réglé le problème par les modules :

E, k-ev de dimension finie, pour en endomorphisme f donné peut se décomposer en somme directe de

où chaque (Ei) est un k[f] sous-module qui plus est principal. Le caractère principal permet d'assurer pour chaque (Ei) l'existence d'un unique invariant de similitude. Le polynôme caractéristique est alors le produit de chaque invariant des (Ei).

Qu'en penses-tu?

par **alavacommejetepousse** » 18 Fév 2010, 17:01

heu

on est parti du problème théorique de définir une matrice à coefficients dans K[X] pour quelqu'un qui a priori ne connait que les k ev, k corps et non les modules donc ...

par **Nightmare** » 18 Fév 2010, 17:06

Moi je résolvais le problème de Ben "définir le polynôme caractéristique sans passer par les matrices de k[X]"

par **Ben314** » 18 Fév 2010, 17:07

A mon avis, le deuxième "problème" d'une définition de ce type, c'est que tu vas avoir Cayley-Hamilton par... définition (ou presque) et que, par contre, il sera un peu ardu de démontrer que le poly. car. s'obtient "bètement" en faisant det(M-X.Id).
C'est un peu contre intuition, vu qu'à mon avis, le plus interessant des deux poly est le poly min. mais que le plus façile à calculer est le poly.car...

par **alavacommejetepousse** » 18 Fév 2010, 17:17

ok on se place sur chaque sous espace caractéristique
comment les a t on obtenus au fait ?

par **jeje56** » 19 Fév 2010, 08:44

Bonjour,

En fait, la démo initiale de Ben m'a parue on ne peut plus claire... Pourquoi se poser la question des matrices à coef dans K[X] alors que j'ai tjrs vu le polynôme caractéristique défini comme det(A-XI)...

Merci bcp !

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