Matrice / valeurs propres complexes

[Acn]

Bonsoir,
Je suis un cours d'algèbre linéaire de 2e année, dans lequel j'ai appris à trouver les valeurs/vecteurs propres, la réduction/diagonalisation de matrices carrées de dimension n, réélles.

N'ayant jamais travaillé avec des matrices complexes, je tombe sur cet énoncé:
Soit A une matrice carrée complexe (n x n), ayant tous ses coefficients rééls.
Montrer que si C \ R est une valeur propre de A, alors le conjugué de est également une valeur propre de A. Que pouvez-vous dire des vecteurs propres associés?
Je n'arrive pas à m'imaginer des valeurs propres autres que réelles dans une matrice à coefficient rééels :s Donc j'ai pensé que aurait une partie imaginaire nulle, donc conjugué(;))=;) et le vecteur propre serait à coefficients rééls, mais ça ne doit pas être ça vu que dans la suite de l'exercice il faut trouver des valeurs propres complexes... :p

Si vous pouviez m'éclaircir je vous en serai gré )

L.

[Nightmare]

Bonsoir :happy3:

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique.
Le but est de montrer que si z est une racine d'un polynôme à coefficient réels alors son conjugué aussi.

c'est peut être plus facile comme ça :lol3:

[Acn]

Ah oui en effet merci de ta réponse, j'avais plutôt essayé de voir par rapport à la définition de valeur propre AX=;)X :/
Dernière petite question: le vecteur propre associé doit alors forcément avoir n coordonnées complexes?

[NICO 97]

Dernière petite question: le vecteur propre associé doit alors forcément avoir n coordonnées complexes?

Si je puis me permettre ta question est légérement ambigue, tout simplement parcequ'un réel est un complexe, au sens large
De plus une valeur propre a, apriori, plusieurs vecteurs propres.
Mais, si on le prend au sens stricte, et si la question est de savoir si les vecteurs propres d'un valeur propre donné ,réel ou complexe, sont eux même réel ou complexe, la réponse est non, ca n'a rien à voir, sauf cas bien spécifique.