Matrice

[Maths-ForumR]

Avez vous une idée pour la b) ?

[capitaine nuggets]

Avez vous une idée pour la b) ?

Oui, elle n'est pas très sorcière : elle repose sur la question précédente :

équivaut à , ou encore .
Je te laisse poursuivre :++:

[Maths-ForumR]

Du coup je dois résoudre un système du type :
-x + y + z =1
2x -3y +2z =5
0x +3y -2z = -1 ?

[capitaine nuggets]

Du coup je dois résoudre un système du type :
-x + y + z =1
2x -3y +2z =5
0x +3y -2z = -1 ?

Pas la peine : S est inversible donc Z=... :++:

[Maths-ForumR]

On ne peut pas dire que Z=B si ?

[capitaine nuggets]

Que veux dire "S est inversible" ?

[Maths-ForumR]

On peut dire que la matrice est équivalente a la matrice identité, et du coup Z=B

[capitaine nuggets]

On peut dire que la matrice est équivalente a la matrice identité, et du coup Z=B

Non, si est inversible alors elle admet un inverse telle que .
Donc si tu as alors en multipliant (par la gauche) par , on a .
Je te laisse conclure :+++:

[Maths-ForumR]

Donc on a : Z=S-1*B

[capitaine nuggets]

Donc on a : Z=S-1*B

Voilà, d'où l'unicité de Z.

[Maths-ForumR]

Donc je dois calculer le produit de S-1 et B par la méthode classique de multiplication.

Par contre je ne comprend pas trop la question 3) pouvez vous m'expliquer ?

[capitaine nuggets]

3) Pour tout n : X'n=Xn - Z appartenant M3,1(R), Montrer que X'n=A^n X'0

Un début de piste :



Servons-nous de la relation de récurrence et vérifie donc :

.

[Maths-ForumR]

Pour n=1 on obtient X'0 est on peut le calculer dans le système de l'ennonce avec les valeur de U0, V0 et W0 mais seulement il va me manquer la puissance n pour la A

Je fais fausse route ?

[capitaine nuggets]

Un début de piste :



Servons-nous de la relation de récurrence et vérifie donc :

.

D'après ce que j'ai pu dire, au final, on a .
Par récurrence immédiate :

Si alors donc et ainsi de suite... . On déballe, on déballe pour avoir :

[CENTER][/CENTER]

[Maths-ForumR]

Ahh oui d'accord, merci !!

J'ai répondu a la 4)a)

Pour la 4)b) il faut que je prouve que :
A=aL + bM ?

[capitaine nuggets]

4) Soit les matrices M=[(2,-1,-1),(0,0,0),(-2,1,1)] et L=[(0,0,0),(-1,2,-1),(1,-2,1)]
4)a) Calculer L²,M², ML, LM
4)b) Justifier que A est combinaison linéair"e de L et M et en déduire l'expression de A^n pour tout n

Ahh oui d'accord, merci !!

J'ai répondu a la 4)a)

Pour la 4)b) il faut que je prouve que :
A=aL + bM ?

4)b) Oui, il faut trouver deux réels et tels que .

[Maths-ForumR]

Je trouve =1 et b=2

Pour deduire A^n je dois lever tout les coefficient de la maitrise a la puissance n ?

Je dois utiliser : X'n=A^n X'0 (ou seulement pour la question 5) ?

[paquito]

J'ai fais une erreur de frappe et donc:






Un moyen limite de montrer qu'une matrice est inversible est de calculer son inverse (inutile de dire que c'est la calculatrice qui fait le boulot!)

ensuite, la relation AZ+B=Z (A-I)Z=-B donc

J'ai vu que la relation X'_n=A^nX'_0 avait été établie, reste donc la dernière question;
on trouve déjà que ML=LM=la matrice nulle; puis

puis

Les "0" permettent de trouver rapidement, donc et comme M et L commutent, on peut appliquer le binôme de Newton en tenant compte de ML=LM=0 et en remarquant que et , d'où et idem Pour

J'espère que j'ai rectifié toutes les erreurs faites en rentrant les données!

[Maths-ForumR]

J'ai fais une erreur de frappe et donc:


22 FIN_ALGORITHME

Il doit y avoir une erreur de discussion

[paquito]

Il doit y avoir une erreur de discussion

de manip! le presse papier était rempli; je corrige: