Matrice

[Maths-ForumR]

Bonjour
Je bloque totalement sur l'exercice suivant :

U0=1
V0=2
W0=3

Pour tout n :

U(n+1) = 2 Un - Vn -Wn +1
V(n+1) = -2 Un + 4Vn - 2Wn +5
W(n+1) = -3 Vn + 3 Wn -1

Xn=(Un,Vn,Wn)


3) Pour tout n : X'n=Xn - Z appartenant M3,1(R), Montrer que X'n=A^n X'0

4) Soit les matrices M=[(2,-1,-1),(0,0,0),(-2,1,1)] et L=[(0,0,0),(-1,2,-1),(1,-2,1)]
4)a) Calculer L²,M², ML, LM
4)b) Justifier que A est combinaison linéair"e de L et M et en déduire l'expression de A^n pour tout n

5) Calculer alors les expression exactes de Un, Vn et Wn

[capitaine nuggets]

Bonjour
Je bloque totalement sur l'exercice suivant :

U0=1
V0=2
W0=3

Pour tout n :

U(n+1) = 2 Un + -1 Vn + -1Wn +1
V(n+1) = -2 Un + 4Vn + -2Wn +5
W(n+1) = 0Un+ -3 Vn + 3 Wn + -1

Xn=(Un,Vn,Wn)

1)Déterminer A appartenant M3(R) et B appartenant M3,1(R)telles que :
Pour tout n, X(n+1)=A Xn+B

Salut !

Par définition du produit matriciel, est la matrice formé des scalaires verts (dans cet ordre) et est la matrice colonne des scalaires rouges (dans cet ordre).

2) Calcule son déterminant

[Maths-ForumR]

Je ne vois pas ce qu'est le déterminant ?
Je n'ai pas vu ça en cours :/

[capitaine nuggets]

Je ne vois pas ce qu'est le déterminant ?
Je n'ai pas vu ça en cours :/

Tu peux montrer que la famille formées des vecteurs lignes ou colonnes de la matrice A forment une base de :+++:

[Maths-ForumR]

J'ai lu quelque chose la dessus sur le cours des espaces vectoriels que j'ai eu ce matin mais nous n'avons pas abordé cette notion non plus y a t'il un autre moyen sinon je veux bien que vous m'expliquiez comment faire pour prouver que c'est une base R3 (c'est une histoire de famille libre, liée c'est ça ?)

[capitaine nuggets]

J'ai lu quelque chose la dessus sur le cours des espaces vectoriels que j'ai eu ce matin mais nous n'avons pas abordé cette notion non plus y a t'il un autre moyen sinon je veux bien que vous m'expliquiez comment faire pour prouver que c'est une base R3 (c'est une histoire de famille libre, liée c'est ça ?)

Il s'agit en gros de montrer que les vecteurs colonnes de ne sont pas deux à deux colinéaires (libres) et qui engendrent bien l'espace (générateurs). (libre & générateurs "donnent" base)

Ah si, tu as peut-être vu ça :
Si on appelle l'endomorphisme de dont est la matrice représentative dans la base canonique. On a les équivalence (non triviales) suivantes :

[CENTER] est bijective ssi est injective ssi .[/CENTER]

Résous donc le système pour montrer que la seule solution qui convient est (0,0,0) :+++:

[Maths-ForumR]

Désolé mais je n'ai rien vue de tout ça je suis complétement perdu :/

[capitaine nuggets]

Désolé mais je n'ai rien vue de tout ça je suis complétement perdu :/

Qu'as-tu vu dans ton cours/tes TD pour montrer l'inversibilité d'une matrice ? Pour la trouver ?
Il n'y pas de raison que tu sois perdu pour l'instant, je t'ai proposé des choses que tu ne connais pas donc on est toujours au début de la question 2 :+++:

[capitaine nuggets]

ATTENTION ! Avant j'avais parler de la matrice , or ce n'est pas ce qui est demandé : on veux montrer l'inversibilité de puis calculer son inverse !

[Maths-ForumR]

J'ai fait des exo de ce type
On a une matrice de type carre (évidement :) ) on calcul la matrice échelonnée on obtient une matrice triangulaire supérieur donc elle est réversible et pour la calculer on calcule la matrice échelonnée réduite

[capitaine nuggets]

J'ai fait des exo de ce type
On a une matrice de type carre (évidement ) on calcul la matrice échelonnée on obtient une matrice triangulaire supérieur donc elle est réversible et pour la calculer on calcule la matrice échelonnée réduite

Oui, tu montres que est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
(je ne suis pas bien familier des divers termes qu'il est possible d'employer, mais je te suis).
Donc vas-y essaie de le faire :++:

[paquito]

ta matrice est;

,



et ,

on veut soit

après c'est une suite arithmético-géométrique en dimension 3, donc ça roule.

[capitaine nuggets]

B=

C'est impossible :

B appartenant M3,1(R)

[Maths-ForumR]

Le problème c'est que je trouve des relations de proportionnalité entre les lignes donc elle n'est pas inversible :/

J'obtiens A= (-2,-1,-1 / 0,-6,6 / 0,-3,3)

[capitaine nuggets]

Le problème c'est que je trouve des relations de proportionnalité entre les lignes donc elle n'est pas inversible :/

J'obtiens A= (-2,-1,-1 / 0,-6,6 / 0,-3,3)

Oui, c'est parce qu'on s'entête à vouloir prendre au lieu de (je sais pas pourquoi alors que oui, elle n'est pas inversible)

ATTENTION ! Avant j'avais parler de la matrice , or ce n'est pas ce qui est demandé : on veux montrer l'inversibilité de puis calculer son inverse !

[Maths-ForumR]

Donc pour le calcule de S = (-1,-1,-1),(-2,-3,-2),(0,-3,-2)

J'obtiens une matrice triangulaire supérieure avec la diagonale différente de 0 donc elle est inversible
Matrice diagonale = (-1,-1,-1),(0,-3,-2),(0,0,8)

[capitaine nuggets]

donc

:lol3:

[Maths-ForumR]

Oula oui il y avait des problème de signe

Pour S^-1 je trouve : (-1,0,-4/3)(0,0,1/3)(0,0,1) je pense que je me suis trompé je trouve çe résultat étonnant

[capitaine nuggets]

Oula oui il y avait des problème de signe

Pour S^-1 je trouve : (-1,0,-4/3)(0,0,1/3)(0,0,1) je pense que je me suis trompé je trouve çe résultat étonnant

Ben calcule et , ça se fait :++:

[Maths-ForumR]

C'est bon j'ai bien trouvé la matrice inverse de S :)