Matrice symétrique

par **jeje56** » 13 Sep 2009, 11:56

Bonjour,

Je dois MQ qu'une matrice symétrique positive S admet au moins une racine carrée définie positive...

J'ai vu que : toute matrice symétrique positive est diagonalisable et ses valeurs propres sont strictement positives : pourquoi ?

Merci !

par **Nightmare** » 13 Sep 2009, 12:25

Salut !

Déjà l'existence, est-ce que tu l'as ? Seule l'unicité peut poser un peu problème. Pour la diagonalisabilité des matrices symétriques positives ce doit être dans ton cours non?

par **abcd22** » 13 Sep 2009, 13:43

Bonjour,

jeje56 a écrit:Je dois MQ qu'une matrice symétrique positive S admet au moins une racine carrée définie positive...

C'est faux, si la matrice de départ est seulement positive, elle admet au moins une racine carrée positive, mais pas définie positive. Si la matrice de départ est définie positive, là elle admet au moins une racine carrée définie positive.

J'ai vu que : toute matrice symétrique positive est diagonalisable et ses valeurs propres sont strictement positives : pourquoi ?

Même problème : toute matrice symétrique positive est diagonalisable et ses valeurs propres sont positives, mais pas forcément strictement positives. En revanche toute matrice symétrique définie positive est diagonalisable et ses valeurs propres sont strictement positives.

par **jeje56** » 13 Sep 2009, 14:20

Oui, autant pour moi, j'enlève le "définie" et le "strictement" lol

Quel lien entre positive et valeur propre ?

Merci !

par **Nightmare** » 13 Sep 2009, 14:24

As-tu réussi déjà à en trouver une racine carrée?

par **jeje56** » 13 Sep 2009, 14:30

Oui, PRac(D)P^-1 en est une...

par **Nightmare** » 13 Sep 2009, 14:41

Ok, reste à montrer l'unicité, as-tu une idée?

par **jeje56** » 13 Sep 2009, 15:27

En fait mon pb, avant l'unicité, c'est de comprendre pourquoi les valeurs propres sont positives... ce qui permet de trouver une racine...

par **jeje56** » 13 Sep 2009, 15:40

Je ne vois pas trop...

Je sais que pour tout X de M(n,1)(R) : tXAX positif

X vecteur propre ssi AX=lamda*X

X vect propre ssi tX*lambda"X positif... non ?

par **abcd22** » 13 Sep 2009, 15:45

jeje56 a écrit:Je sais que pour tout X de M(n,1)(R) : tXAX positif

X vecteur propre ssi AX=lamda*X

OK.

X vect propre ssi tX*lambda"X positif... non ?

Il n'y a pas d'équivalence ici (car tXX est toujours positif, je prends lambda = 1 et avec l'équivalence que tu as écrite je conclus que la matrice est l'identité...).
Si X est un vecteur propre pour la valeur propre lambda, alors tXAX = lambda tXX, et tXAX est positif car A est positive, donc ...

par **jeje56** » 13 Sep 2009, 20:25

Pourquoi tXX tjrs positif ?...

Merci abcd22

par **Nightmare** » 13 Sep 2009, 21:31

Salut,

tu peux écrire ce que vaut tXX pour comprendre !

par **jeje56** » 14 Sep 2009, 06:44

Ah oui ok je vois... somme de carrés !

Thanks !

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